電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

起電力 $12 V$ の電池、抵抗値 $4.0 Ω$ の抵抗 $R_{1}$ 、スイッチ $S$ を直列につなぎ、その先を点 $P$ と点 $Q$ のあいだにつないだ。 $P$ と $Q$ のあいだには、次の 2 つの部分が並列につながれている。

自己インダクタンス $0.50 H$ のコイル $L$
抵抗値 $10 Ω$ の抵抗 $R_{2}$ と抵抗値 $20 Ω$ の抵抗 $R_{3}$ を直列につないだもの（ $P$ の側に $R_{2}$ 、 $Q$ の側に $R_{3}$ ）

つまり、電池の正極 → $R_{1}$ → $S$ → $P$ → （コイル $L$ 、または $R_{2}$ と $R_{3}$ ）→ $Q$ → 電池の負極、の順につながっている。電池の内部抵抗、コイルの抵抗、導線の抵抗は無視でき、スイッチを開くときに火花は出ないものとする。

はじめ $S$ を閉じて十分に時間がたった。その後 $S$ を開いた。 $S$ を開いてから回路に電流が流れなくなるまでに、抵抗 $R_{2}$ で発生するジュール熱は何 J か。有効数字 2 桁で求めよ。

12 V

R_{1}

（

4.0 Ω

）S

L

（

0.50 H

）

R_{2}

（

10 Ω

）

R_{3}

（

20 Ω

）

この問題で使うもの

コイルを含む直流回路のスイッチ操作（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「十分時間がたつとコイルは導線とみなせる」「スイッチの開閉の直前と直後でコイルの電流は変わらない」を使い、最後にコイルのエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$ を直列の抵抗に分ける、という順で考えます。

ヒント 2

S を閉じて十分たつと $P$ , $Q$ 間はコイルで短絡されるので、 $R_{2}$ , $R_{3}$ には電流が流れません。S を開いたあと、コイルのエネルギーは直列の $R_{2}$ , $R_{3}$ に $R_{2} : R_{3}$ の比で分配されます。

ヒント 3

コイルの電流は $I = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$ 、蓄えられたエネルギーは $U = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$ です。あとは $R_{2}$ の取り分を求めます。

答えと解説

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0.75

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解説を読む

1. S を閉じて十分に時間がたったときの電流

十分に時間がたつと、コイルの電流は変化しなくなるので、自己誘導起電力 $L \frac{Δ I}{Δ t}$ は $0$ になります。コイルの抵抗は無視できるので、コイルはただの導線とみなせます。

すると $P$ と $Q$ は導線でつながれたのと同じで、 $P$ と $Q$ のあいだの電圧は $0$ です。したがって $R_{2}$ , $R_{3}$ には電流が流れず、電流はすべてコイルを $P$ から $Q$ の向きに流れます。回路の抵抗は $R_{1}$ だけなので、コイルの電流 $I$ は
$I = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$

2. S を開いた直後の電流

コイルの電流は、スイッチを開く直前と直後で変わりません（急に変えようとすると、それを妨げる大きな自己誘導起電力が生じるため）。S を開くと電池と $R_{1}$ の側には電流が流れなくなるので、コイルは $P$ から $Q$ の向きに $3.0 A$ の電流を流し続けようとします。コイルの $Q$ 側から出た電流は、 $Q$ → $R_{3}$ → $R_{2}$ → $P$ と流れてコイルに戻ります。つまり、コイルと $R_{2}$ , $R_{3}$ でできた閉じた経路を電流が流れ、この電流はしだいに減って $0$ になります。

3. コイルのエネルギー

S を開く直前にコイルに蓄えられていたエネルギーは
$U = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$
火花は出ないので、このエネルギーは電流が $0$ になるまでにすべて $R_{2}$ と $R_{3}$ のジュール熱になります（エネルギー保存）。

4. 直列の抵抗への分配

$R_{2}$ と $R_{3}$ は直列なので、どの瞬間も同じ電流 $i$ が流れます。各瞬間の発熱の割合（消費電力）は $R_{2} i^{2} : R_{3} i^{2} = R_{2} : R_{3}$ で、電流が変化してもこの比は変わりません。したがって、発生するジュール熱の合計も抵抗値の比 $10 : 20 = 1 : 2$ に分配されます。

$R_{2}$ で発生するジュール熱は
$Q_{2} = U \times \frac{R _{2}}{R _{2} + R _{3}} = 2.25 \times \frac{10}{10 + 20} = 0.75 J$

よって答えは $0.75 J$ です。

別解

スイッチ S を閉じて十分に時間がたつと、コイルの電流は一定になり、コイルの抵抗は 0 なのでコイルの両端の電圧は 0 になる。したがって $R_{2}$ と $R_{3}$ には電流が流れず、電流はすべてコイルを通る。このときの電流は $I = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$ である。

コイルに蓄えられたエネルギーは $U = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$ である。

S を開くと、コイルの電流は $L$ 、 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ の閉回路だけを流れる。電流がなくなるまでにコイルのエネルギーはすべてジュール熱になる。火花は出ないので、エネルギーは $R_{2}$ と $R_{3}$ だけで消費される。

$R_{2}$ と $R_{3}$ は直列で、流れる電流は常に等しい。ジュール熱は抵抗値に比例するので、 $R_{2}$ の発生熱は全体の $\frac{10}{10 + 20} = \frac{1}{3}$ である。

$Q_{2} = 2.25 \times \frac{1}{3} = 0.75 J$

検算： $R_{3}$ の発熱は $1.5 J$ で、合計は $0.75 + 1.5 = 2.25 J$ となり、コイルのエネルギーと一致する。

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