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電磁気と交流の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理電磁気と交流

起電力 $V$ で内部抵抗の無視できる電池、スイッチ S、抵抗値 $R$ の抵抗 $R_{1}$ 、抵抗値 $2 R$ の抵抗 $R_{2}$ 、自己インダクタンス $L$ で導線の抵抗が $R$ のコイルを、次のようにつないだ。

電池の正極からスイッチ S、抵抗 $R_{1}$ をこの順に直列につなぎ、 $R_{1}$ のもう一方の端を点 P とする。
点 P と点 Q の間に、コイルと抵抗 $R_{2}$ を並列につなぐ。
点 Q を電池の負極につなぐ。

はじめ S を閉じて十分に時間がたち、各部の電流が一定になった。その後 S を開いた。S を開いてから電流が流れなくなるまでの間に、抵抗 $R_{2}$ で発生するジュール熱を、 $L$ , $V$ , $R$ を用いて表せ。ただし、導線の抵抗（コイルの導線を除く）は無視でき、コイルの外に漏れる磁場や電磁波の放射は考えないものとする。

P

Q

V

R_{1}

L

R_{2}

この問題で使うもの

コイルを含む直流回路のスイッチ操作（説明と入口の問題）
オームの法則と合成抵抗（説明と入口の問題）
自己誘導とコイルのエネルギー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

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ヒント

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ヒント 1

S を開いた後に $R_{2}$ で出る熱のもとは、S を開く直前にコイルに蓄えられていた磁場のエネルギー $\frac{1}{2} L I^{2}$ である。

ヒント 2

定常状態ではコイルは抵抗 $R$ の導線とみなせる。また S を開いた後は、コイルの抵抗と $R_{2}$ が直列になり、熱の発生の割合は抵抗の比になる。

ヒント 3

定常状態でコイルに流れる電流は $\frac{2 V}{5 R}$ 。このときのエネルギーのうち、 $R_{2}$ に配分される割合は $\frac{2 R}{R + 2 R}$ 。

答えと解説

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\frac{4 L V ^{2}}{75 R ^{2}}

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解説を読む

S を閉じて十分時間がたったとき. 電流が一定なので、コイルの誘導起電力 $L \frac{Δ I}{Δ t}$ は $0$ であり、コイルは抵抗 $R$ の導線としてはたらく。PQ 間はコイル（抵抗 $R$ ）と $R_{2}$ （抵抗 $2 R$ ）の並列接続で、その合成抵抗は
$\frac{R \cdot 2 R}{R + 2 R} = \frac{2}{3} R .$
回路全体の抵抗は $R + \frac{2}{3} R = \frac{5}{3} R$ なので、 $R_{1}$ を流れる電流は
$I = \frac{V}{\frac{5}{3} R} = \frac{3 V}{5 R} .$
PQ 間の電圧は $\frac{2}{3} R \cdot I = \frac{2}{5} V$ だから、コイルを流れる電流は
$I_{L} = \frac{\frac{2}{5} V}{R} = \frac{2 V}{5 R} .$

コイルに蓄えられたエネルギー. 自己インダクタンス $L$ のコイルに電流 $I_{L}$ が流れているとき、コイルに蓄えられている磁場のエネルギーは
$U = \frac{1}{2} L I_{L}^{2} = \frac{1}{2} L \cdot \frac{4 V ^{2}}{25 R ^{2}} = \frac{2 L V ^{2}}{25 R ^{2}} .$

S を開いた後. S を開くと電池と $R_{1}$ は切り離され、コイルと $R_{2}$ だけの閉回路が残る。コイルの電流は自己誘導によって急には変わらず、 $I_{L}$ から徐々に減少しながらこの閉回路を流れる。このときコイルの導線の抵抗 $R$ と $R_{2}$ （ $2 R$ ）には同じ電流が流れるので、各瞬間のジュール熱の発生率 $R I^{2}$ と $2 R I^{2}$ の比はつねに $1 : 2$ である。

電流が $0$ になるまでに、コイルに蓄えられていたエネルギー $U$ はすべてこの 2 つの抵抗でジュール熱に変わる（ほかにエネルギーの出入りはない）。したがって $R_{2}$ で発生するジュール熱は
$Q = U \times \frac{2 R}{R + 2 R} = \frac{2 L V ^{2}}{25 R ^{2}} \times \frac{2}{3} = \frac{4 L V ^{2}}{75 R ^{2}} .$

答え: $\frac{4 L V ^{2}}{75 R ^{2}}$

別解

【S を閉じて十分時間がたったとき】コイルでは電流が一定なので誘導起電力は 0 で、コイルは抵抗 $R$ の導線とみなせる。 $R_{1} = R$ と、並列部（コイルの抵抗 $R$ と $R_{2} = 2 R$ ）の合成抵抗は $\frac{R \cdot 2 R}{R + 2 R} = \frac{2 R}{3}$ 。全抵抗は $R + \frac{2 R}{3} = \frac{5 R}{3}$ なので、電池を流れる電流は $I = \frac{V}{5 R /3} = \frac{3 V}{5 R}$ 。点 P-Q 間の電圧は $V_{P Q} = I \cdot \frac{2 R}{3} = \frac{2 V}{5}$ 。よってコイルを流れる電流は $I_{L} = \frac{V _{P Q}}{R} = \frac{2 V}{5 R}$ （ $R_{2}$ には $\frac{V _{P Q}}{2 R} = \frac{V}{5 R}$ 、和は $\frac{3 V}{5 R} = I$ で一致）。\n\n【S を開いた後】電池側の回路は切れるので、コイルと $R_{2}$ だけの閉回路（全抵抗 $R + 2 R = 3 R$ ）になる。コイルは電流を保とうとするので、 $R_{2}$ にも同じ大きさの電流が流れ、電流は減衰して 0 になる。この間に失われるエネルギーは、コイルに蓄えられていた $U = \frac{1}{2} L I_{L}^{2} = \frac{1}{2} L \cdot \frac{4 V ^{2}}{25 R ^{2}} = \frac{2 L V ^{2}}{25 R ^{2}}$ で、これが全部ジュール熱になる。直列なので、各時刻の電流は共通で、発熱は抵抗値に比例する。よって $R_{2}$ の分担は $\frac{2 R}{3 R} = \frac{2}{3}$ 。\n\n $Q_{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 L V ^{2}}{25 R ^{2}} = \frac{4 L V ^{2}}{75 R ^{2}}$ 。\n\n検算：コイル導線の分は $\frac{1}{3} \cdot \frac{2 L V ^{2}}{25 R ^{2}} = \frac{2 L V ^{2}}{75 R ^{2}}$ で、合計は $\frac{6 L V ^{2}}{75 R ^{2}} = \frac{2 L V ^{2}}{25 R ^{2}}$ となり $U$ と一致する。

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