電磁気と交流の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理電磁気と交流

起電力 $12 V$ の電池、スイッチ $S$ 、抵抗値 $4.0 Ω$ の抵抗 $R_{1}$ 、自己インダクタンス $0.50 H$ のコイル $L$ 、抵抗値 $10 Ω$ の抵抗 $R_{2}$ 、抵抗値 $20 Ω$ の抵抗 $R_{3}$ を使って、次のような回路をつくる。

電池の正極から、スイッチ $S$ 、抵抗 $R_{1}$ の順に導線でつなぎ、点 $P$ に至る。点 $P$ と点 $Q$ のあいだには 2 つの経路を並列につなぐ。一方の経路はコイル $L$ だけであり、もう一方の経路は抵抗 $R_{2}$ と抵抗 $R_{3}$ を直列につないだものである。点 $Q$ は電池の負極に導線でつながっている。

電池の内部抵抗、コイルの抵抗、導線の抵抗は無視できるものとする。はじめスイッチ $S$ を閉じて十分に時間がたってから、スイッチ $S$ を開いた。 $S$ を開いてから電流が流れなくなるまでのあいだに、抵抗 $R_{3}$ で発生するジュール熱は何 $J$ か。有効数字 2 桁で答えよ。ただし、コイルに蓄えられていたエネルギーはすべて抵抗 $R_{2}$ , $R_{3}$ でジュール熱になるものとする。

12 V

R_{1}

（

4.0 Ω

）

L

（

0.50 H

）

R_{2}

（

10 Ω

）

R_{3}

（

20 Ω

）

この問題で使うもの

コイルを含む直流回路のスイッチ操作（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

十分時間がたったときのコイルの扱いと、スイッチを開いた直後にコイルの電流が急に変わらないことを使い、コイルに蓄えられたエネルギーの行き先を考えましょう。

ヒント 2

十分時間がたつとコイルは導線とみなせるので $R_{2}$ , $R_{3}$ には電流が流れません。コイルのエネルギーは $U = \frac{1}{2} L I^{2}$ で、直列の $R_{2}$ , $R_{3}$ には同じ電流が流れるので、ジュール熱は抵抗値の比 $R_{2} : R_{3}$ に分かれます。

ヒント 3

開く直前のコイルの電流は $I = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$ 、蓄えられたエネルギーは $U = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$ です。これを $R_{2} : R_{3} = 1 : 2$ に分けます。

答えと解説

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1.5

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解説を読む

手順 1：スイッチを開く直前の電流を求める（十分時間がたつとコイルは導線とみなせる）

$S$ を閉じて十分に時間がたつと、コイルを流れる電流は一定になり、自己誘導起電力 $L \frac{Δ I}{Δ t}$ は $0$ になる。コイルの抵抗は無視できるので、コイルは抵抗 $0$ の導線とみなせる。

すると点 $P$ , $Q$ のあいだの電圧は $0$ になり、 $R_{2}$ , $R_{3}$ には電流が流れない。電流はすべて $R_{1}$ とコイルを通るので、コイルを流れる電流 $I$ は
$I = \frac{12}{4.0} = 3.0 A$

手順 2：コイルに蓄えられたエネルギーを求める

$U = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$

手順 3：スイッチを開いた直後の電流の流れ方を考える

コイルを流れる電流は急には変わらない（自己誘導によって変化をさまたげる）ので、 $S$ を開いた直後もコイルには $3.0 A$ が同じ向きに流れる。 $S$ が開いているので電池と $R_{1}$ には電流が流れず、コイルの電流は $L \to R_{2} \to R_{3} \to L$ と 1 周する閉じた経路を流れ、しだいに減って $0$ になる。このあいだにエネルギー $U = 2.25 J$ がすべて $R_{2}$ と $R_{3}$ でジュール熱になる。

手順 4：エネルギーを抵抗値の比で分ける

$R_{2}$ と $R_{3}$ は直列なので、どの瞬間も同じ電流 $i$ が流れる。そのときの消費電力はそれぞれ $R_{2} i^{2}$ , $R_{3} i^{2}$ であり、その比はつねに $R_{2} : R_{3} = 10 : 20 = 1 : 2$ である。したがって、発生するジュール熱の合計も $1 : 2$ に分かれる。

$R_{3}$ で発生するジュール熱は
$Q_{3} = U \times \frac{R _{3}}{R _{2} + R _{3}} = 2.25 \times \frac{20}{10 + 20} = 1.5 J$

有効数字 2 桁で、答えは $1.5 J$ である。

別解

S を閉じて十分時間がたつと定常状態になり、コイルの電圧は 0、コイルの抵抗は無視できるので、コイルは導線と同じ。

このとき P–Q 間は、コイルがある経路で短絡されている。R2, R3 の経路にかかる電圧は 0 なので、R2, R3 には電流が流れない。

コイルを流れる電流は $I_{0} = 12/4.0 = 3.0 A$ 。

コイルに蓄えられたエネルギーは $U = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.50 \times 3. 0^{2} = 2.25 J$ 。

S を開くと、電池と R1 の経路は切れる。コイルと R2, R3 の直列部分だけで閉回路になり、コイルの電流は同じ向きに流れ続ける。R2 と R3 は直列なので、同じ電流が流れる。発熱量は抵抗値に比例し、R3 の割合は $20/ (10 + 20) = 2/3$ 。

$Q_{3} = 2.25 \times \frac{2}{3} = 1.5 J$

検算: 閉回路の抵抗は 30 Ω で、時定数は $L / R = 0.50/30$ s。熱の総量は $\int I^{2} R d t = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ となり、一致する。R3 の分は $I^{2} R_{3}$ の積分で、 $\frac{R _{3}}{R _{2} + R _{3}} \cdot \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = 1.5$ J。有効数字 2 桁で 1.5。

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