電気回路の問題

内部抵抗の無視できる起電力 $E=12\mathrm{V}$ の直流電源、スイッチ $\mathrm{S}$、抵抗値 $R=30\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L=0.1\mathrm{H}$ のコイル、静電容量 $C=500\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを、この順に直列につないで 1 つの閉回路を作る（コンデンサーのもう一方の極板は電源の負極につながっている）。はじめスイッチ $\mathrm{S}$ は開いており、コンデンサーに電荷はなく、コイルに電流は流れていない。時刻 $t=0$ にスイッチ $\mathrm{S}$ を閉じる。

$t\geqq 0$ において回路を流れる電流を $i(t)$（単位は $\mathrm{A}$、電源の正極から抵抗に向かう向きを正とする）とする。ラプラス変換を用いて、$i(t)$ を $t$（単位は $\mathrm{s}$）の式で求めよ。ただし、導線の抵抗とコイルの巻線抵抗は無視する。

内部抵抗の無視できる起電力 $E=10\mathrm{V}$ の直流電源、スイッチ $\mathrm{S}$、抵抗値 $R=30\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L=0.1\mathrm{H}$ のコイル、静電容量 $C=500\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを、電源の正極 → $\mathrm{S}$ → 抵抗 → コイル → コンデンサー → 電源の負極 の順に直列につなぎ、1 つの閉回路を作る。導線の抵抗、コイルの巻線抵抗、スイッチの接触抵抗は無視できるものとする。

はじめ $\mathrm{S}$ は開いていて、コンデンサーに電荷はなく、回路に電流は流れていない。時刻 $t=0$ に $\mathrm{S}$ を閉じる。電源の正極から $\mathrm{S}$、抵抗、コイル、コンデンサーの順に流れる向きを電流の正の向きとするとき、$t\ge 0$ で回路を流れる電流 $i(t)$ [A] を、ラプラス変換を用いて $t$ [s] の式で求めよ。

節点 $\mathrm{G}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ をもつ次の回路を考える。素子はすべて理想的とし、導線の抵抗は無視する。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $E=12\mathrm{V}$ の直流電源がある（$\mathrm{A}$ 側が高電位）。
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、スイッチ $\mathrm{S}$ と抵抗値 $R_1=10\Omega$ の抵抗が直列につながれている。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{G}$ の間に、静電容量 $C=1.0\mathrm{mF}$ のコンデンサーがある。
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{D}$ の間に、自己インダクタンス $L=0.10\mathrm{H}$ のコイルがある。
• 節点 $\mathrm{D}$ と $\mathrm{G}$ の間に、抵抗値 $R_2=10\Omega$ の抵抗がある。

時刻 $t<0$ ではスイッチ $\mathrm{S}$ は開いており、コンデンサーは帯電しておらず、コイルに電流は流れていない。時刻 $t=0$ に $\mathrm{S}$ を閉じる。コイルを $\mathrm{B}$ から $\mathrm{D}$ の向きに流れる電流を $i_L(t)$ とする。

ラプラス変換を用いて $i_L(t)$ を求め、$t>0$ における $i_L(t)$ の最大値を、単位を $\mathrm{A}$ として正確な値で求めよ。

内部抵抗の無視できる起電力 $E=10\mathrm{V}$ の直流電源、スイッチ $\mathrm{S}$、自己インダクタンス $L=0.25\mathrm{H}$ のコイル、抵抗値 $R=200\Omega$ の抵抗、電気容量 $C=1\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーからなる回路を考える。電源の正極は $\mathrm{S}$ を通してコイルの一端につながり、コイルの他端を節点 $\mathrm{A}$ とする。電源の負極を節点 $\mathrm{B}$ とし、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に抵抗とコンデンサーが並列に接続されている。導線の抵抗、コイルの抵抗は無視し、素子はすべて理想的（線形）とする。

時刻 $t<0$ では $\mathrm{S}$ は開いており、コイルに電流は流れていない。また、コンデンサーは $\mathrm{A}$ 側が高電位となるように電圧 $20\mathrm{V}$ に充電されている（抵抗を通した放電は無視できるものとし、$t=0$ の直前でもコンデンサーの電圧は $20\mathrm{V}$ であるとする）。時刻 $t=0$ に $\mathrm{S}$ を閉じる。

$t\ge 0$ における $\mathrm{B}$ に対する $\mathrm{A}$ の電位 $v(t)$ を、ラプラス変換を用いて求めよ。ただし $v(t)$ の単位は $\mathrm{V}$、$t$ の単位は $\mathrm{s}$ とし、$t$ の式で答えよ。

起電力 $E=40\mathrm{V}$ の直流電源（内部抵抗は無視する）、スイッチ S、抵抗 $R=60\Omega$、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、電気容量 $C=4.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につないだ回路がある。はじめ S は開いていて、コイルに電流は流れておらず（$i(0^{-})=0$）、コンデンサーは帯電していない（$v_C(0^{-})=0$）。時刻 $t=0$ に S を閉じた。

コイルの抵抗と導線の抵抗は無視する。回路を $s$ 領域で表してラプラス変換を用い、$t\ge 0$ で回路を流れる電流 $i(t)$（A）を、$t$（s）を用いて表せ。電流の向きは、電源の正極から抵抗・コイル・コンデンサーを通って負極へ流れる向きを正とする。