電気回路の問題

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を次のように作る。内部の節点を $\mathrm{M}$ とし、端子 $1$ と $\mathrm{M}$ の間に $4\Omega$ の抵抗、$\mathrm{M}$ と端子 $2$ の間に $2\Omega$ の抵抗、$\mathrm{M}$ と共通線の間に $4\Omega$ の抵抗をつなぐ。端子 $1^{\prime }$ と $2^{\prime }$ は共通線で直接つながっている（T 形回路）。

この回路 $\mathrm{N}$ を 2 つ用意し、1 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $2$-$2^{\prime }$ を 2 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $1$-$1^{\prime }$ にそのままつないで縦続接続する。縦続接続した回路の出力側（2 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $2$-$2^{\prime }$）に $4\Omega$ の負荷抵抗をつなぎ、入力側（1 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $1$-$1^{\prime }$）に直流電圧 $V_1$ を加えたところ、負荷抵抗の両端の電圧は $V_2$ になった。電圧の向きはいずれも端子 $1^{\prime }$, $2^{\prime }$ に対する端子 $1$, $2$ の電位とする。

$\mathrm{N}$ の Z パラメータと F パラメータ（縦続行列）を用いて、電圧比 $\frac{V_2}{V_1}$ を既約分数で求めよ。抵抗は理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を、内部の節点 $\mathrm{M}$ と次の 3 つの抵抗で作る（T 形回路）。端子 $1^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ は導線で直接つながっている。

• 端子 $1$ と節点 $\mathrm{M}$ の間に $2\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $2$ の間に $1\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $1^{\prime }$（端子 $2^{\prime }$）の間に $2\Omega$ の抵抗

次に、$\mathrm{N}$ と同じ回路をもう 1 つ用意し、入力側と出力側を入れかえて使ったものを ${\mathrm{N}}^{\prime }$ とする。すなわち ${\mathrm{N}}^{\prime }$ は、内部の節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ をもち、端子 $2$ と節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ の間に $1\Omega$、節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ と端子 $3$ の間に $2\Omega$、節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ の間に $2\Omega$ の抵抗をつないだ回路で、端子 $2^{\prime }$ と端子 $3^{\prime }$ は導線で直接つながっている。こうして、$\mathrm{N}$ の出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ に ${\mathrm{N}}^{\prime }$ を縦続接続した、入力端子対 $1$-$1^{\prime }$、出力端子対 $3$-$3^{\prime }$ の二端子対回路 $\mathrm{K}$ を作る。

端子対 $1$-$1^{\prime }$ に、起電力 $30\mathrm{V}$、内部抵抗 $4\Omega$ の直流電源を、端子 $1$ の側が正極になるようにつなぎ、端子対 $3$-$3^{\prime }$ に抵抗値 $R_L$（$R_L>0$）の負荷抵抗をつなぐ。$R_L$ を変えるとき、負荷抵抗で消費される電力の最大値は何 $\mathrm{W}$ か。$\mathrm{K}$ の F パラメータ（基本行列）を求めて考え、既約分数で答えよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を、内部の節点 $\mathrm{a}$, ${\mathrm{a}}^{\prime }$ を使って次のように作る。

• 端子 $1$ と節点 $\mathrm{a}$ の間に抵抗 $2\Omega$
• 節点 $\mathrm{a}$ と節点 ${\mathrm{a}}^{\prime }$ の間に抵抗 $6\Omega$
• 端子 $1^{\prime }$ と節点 ${\mathrm{a}}^{\prime }$ は導線で直接つながれている
• 節点 $\mathrm{a}$-${\mathrm{a}}^{\prime }$ を一次側、端子 $2$-$2^{\prime }$ を二次側とする巻数比 $1:2$ の理想変成器。一次側の電圧 $V_{\mathrm{a}}=V_{\mathrm{a}{\mathrm{a}}^{\prime }}$（${\mathrm{a}}^{\prime }$ に対する $\mathrm{a}$ の電位）と二次側の電圧 $V_2$（$2^{\prime }$ に対する $2$ の電位）は $V_2=2V_{\mathrm{a}}$ を満たし、節点 $\mathrm{a}$ から一次側に流れ込む電流 $I_{\mathrm{a}}$ と端子 $2$ から外へ流れ出す電流 $I_2$ は $I_{\mathrm{a}}=2I_2$ を満たす

F パラメータ（縦続行列）は、入力端子の電圧 $V_1$、端子 $1$ に流れ込む電流 $I_1$、出力端子の電圧 $V_2$、端子 $2$ から流れ出す電流 $I_2$ を用いて
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。

いま、端子対 $1$-$1^{\prime }$ に起電力 $E=12\mathrm{V}$、内部抵抗 $r=4\Omega$ の直流電源をつなぎ（端子 $1$ 側が正極）、端子対 $2$-$2^{\prime }$ に負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を変えたとき、$R_L$ で消費される電力が最大になる $R_L$ の値（単位 $\Omega$）と、そのときの消費電力（単位 $\mathrm{W}$）を、この順に組で答えよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路を、次のように 3 つの抵抗で作る（$\pi$ 形回路）。

• 端子 $1$ と端子 $1^{\prime }$ の間に抵抗 $R_1=4\Omega$
• 端子 $1$ と端子 $2$ の間に抵抗 $R_2=2\Omega$
• 端子 $2$ と端子 $2^{\prime }$ の間に抵抗 $R_3=8\Omega$
• 端子 $1^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ は抵抗の無視できる導線で直接つなぐ

端子 $1^{\prime }$ に対する端子 $1$ の電位を $V_1$、端子 $2^{\prime }$ に対する端子 $2$ の電位を $V_2$ とし、端子 $1$ から回路に流れ込む電流を $I_1$、端子 $2$ から回路の外へ流れ出る電流を $I_2$ とする（電圧・電流は直流とする）。この回路の F パラメータ（縦続行列の要素）$A$, $B$, $C$, $D$ を
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。$B$ を $\Omega$ 単位、$C$ を $\mathrm{S}$ 単位で表すとき、組 $(A,B,C,D)$ をこの順に分数または整数で求めよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$（$\pi$ 形回路）を、次のように 3 つの抵抗で作る。端子 $1^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ は導線で直接つながれている。

• 端子 $1$ と端子 $1^{\prime }$ の間に、抵抗値 $10\Omega$ の抵抗
• 端子 $1$ と端子 $2$ の間に、抵抗値 $5\Omega$ の抵抗
• 端子 $2$ と端子 $2^{\prime }$ の間に、抵抗値 $20\Omega$ の抵抗

端子 $1$ の端子 $1^{\prime }$ に対する電圧を $V_1$、端子 $1$ から回路に流れこむ電流を $I_1$、端子 $2$ の端子 $2^{\prime }$ に対する電圧を $V_2$、端子 $2$ から回路の外へ流れ出る電流を $I_2$ とする。この回路の F パラメータ（縦続行列の要素）$A$, $B$, $C$, $D$ を
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。SI 単位系（$B$ は $\Omega$、$C$ は $\mathrm{S}$ を単位とする）で、組 $(A,B,C,D)$ を正確な値（分数）で求めよ。