二端子対回路の Z パラメータと Y パラメータ

出力端子対・入力端子対を開放（または短絡）したときの電圧と電流の比から $V_{1} = Z_{11} I_{1} + Z_{12} I_{2}$ , $V_{2} = Z_{21} I_{1} + Z_{22} I_{2}$ の Z パラメータや Y パラメータを求め、T 形・π 形回路の値や、負荷をつないだときの入出力関係を求められる

前提

節点解析（大学物理電気回路）

この技能までの道筋（39 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
電池の起電力・内部抵抗・端子電圧（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
節点解析（大学物理電気回路）

説明

増幅器やフィルタ、伝送線路のように、入力用の端子 2 本（端子対 1）と出力用の端子 2 本（端子対 2）をもつ回路を二端子対回路といいます。内部の構造が複雑でも、外から見える 4 つの量（端子対 1 の電圧 $V_{1}$ ・電流 $I_{1}$ 、端子対 2 の電圧 $V_{2}$ ・電流 $I_{2}$ ）の関係は 4 つの定数で表せます。この技能では、その定数である Z パラメータ（ $V_{1} = Z_{11} I_{1} + Z_{12} I_{2}$ , $V_{2} = Z_{21} I_{1} + Z_{22} I_{2}$ ）と Y パラメータ（ $I_{1} = Y_{11} V_{1} + Y_{12} V_{2}$ , $I_{2} = Y_{21} V_{1} + Y_{22} V_{2}$ ）を、端子を開放・短絡したときの比から求め、負荷をつないだときの入出力の関係を計算します。

なぜそうしてよいのか

向きの約束として、 $I_{1}$ は端子対 1 の $+$ 側の端子から回路に流れ込む向き、 $I_{2}$ は端子対 2 の $+$ 側の端子から回路に流れ込む向きを正とします（どちらも「回路に入る向き」）。抵抗だけ（独立電源を含まない）からなる回路の両端子対に、外から電流源 $I_{1}$ , $I_{2}$ をつないだとして節点解析をすると、節点方程式は $G V = J$ の形で、係数行列 $G$ は抵抗だけで決まり、右辺 $J$ は $I_{1}$ , $I_{2}$ の 1 次式です。解 $V = G^{- 1} J$ もまた $I_{1}$ , $I_{2}$ の 1 次式なので、端子電圧は必ず $V_{1} = Z_{11} I_{1} + Z_{12} I_{2}$ , $V_{2} = Z_{21} I_{1} + Z_{22} I_{2}$ の形に書けます。定数項が現れないのは、内部に独立電源がなく、 $I_{1} = I_{2} = 0$ なら電圧も 0 だからです。

この式で $I_{2} = 0$ （端子対 2 を開放）とおくと $V_{1} = Z_{11} I_{1}$ , $V_{2} = Z_{21} I_{1}$ なので、 $Z_{11} = \frac{V _{1}}{I _{1}}_{I_{2} = 0}$ , $Z_{21} = \frac{V _{2}}{I _{1}}_{I_{2} = 0}$ と 1 つずつ取り出せます。同様に $I_{1} = 0$ （端子対 1 を開放）とすれば $Z_{12}$ , $Z_{22}$ が求まります。Y パラメータは電圧を独立変数にとった表し方で、相手の端子対を短絡（ $V = 0$ ）して $Y_{11} = \frac{I _{1}}{V _{1}}_{V_{2} = 0}$ などと求めます。両者は行列で $(Y_{11} Y_{21} Y_{12} Y_{22}) = (Z_{11} Z_{21} Z_{12} Z_{22})^{- 1}$ （逆行列が存在するとき）の関係にあります。抵抗だけの回路では $Z_{12} = Z_{21}$ , $Y_{12} = Y_{21}$ が成り立ちます。

端子対 2 に負荷抵抗 $R_{L}$ をつなぐと、 $I_{2}$ は回路に入る向きを正にとっているので、負荷を流れる電流は $- I_{2}$ で $V_{2} = - R_{L} I_{2}$ です。これを Z パラメータの式に代入して $I_{2}$ を消すと、入力側から見た抵抗 $\frac{V _{1}}{I _{1}} = Z_{11} - \frac{Z _{12} Z _{21}}{Z _{22} + R _{L}}$ などが得られます。

手順

端子対 1, 2 の電圧 $V_{1}$ , $V_{2}$ と、それぞれの端子対に流れ込む向きの電流 $I_{1}$ , $I_{2}$ を図に書き込む
Z パラメータなら端子対 2 を開放（ $I_{2} = 0$ ）して $I_{1}$ を流し、 $Z_{11} = \frac{V _{1}}{I _{1}}$ , $Z_{21} = \frac{V _{2}}{I _{1}}$ を求める
端子対 1 を開放（ $I_{1} = 0$ ）して $I_{2}$ を流し、 $Z_{12} = \frac{V _{1}}{I _{2}}$ , $Z_{22} = \frac{V _{2}}{I _{2}}$ を求める
Y パラメータなら、開放の代わりに相手の端子対を短絡（ $V_{2} = 0$ または $V_{1} = 0$ ）して $Y_{11} = \frac{I _{1}}{V _{1}}$ , $Y_{21} = \frac{I _{2}}{V _{1}}$ などを求める（電流の向きの符号に注意）
負荷をつなぐときは、負荷の条件（例: $V_{2} = - R_{L} I_{2}$ ）をパラメータの式に代入し、連立して入力抵抗や電圧比を求める

例題

端子 1, 1' の対（端子対 1）と端子 2, 2' の対（端子対 2）をもつ T 形回路がある。端子 1 と内部の節点 M の間に $2 Ω$ 、節点 M と端子 2 の間に $3 Ω$ 、節点 M と端子 1' の間に $4 Ω$ の抵抗があり、端子 1' と端子 2' は導線で直接つながっている。 $V_{1}$ は端子 1' に対する端子 1 の電位、 $V_{2}$ は端子 2' に対する端子 2 の電位、 $I_{1}$ は端子 1 から回路に流れ込む電流、 $I_{2}$ は端子 2 から回路に流れ込む電流とする。 $V_{1} = Z_{11} I_{1} + Z_{12} I_{2}$ , $V_{2} = Z_{21} I_{1} + Z_{22} I_{2}$ で定まる Z パラメータを、 $(Z_{11}, Z_{12}, Z_{21}, Z_{22})$ の順に求めよ（単位は $Ω$ ）。

例題の解答

手順 1: 端子 1', 2' を基準（電位 0）とし、向きは問題文のとおり。

手順 2（端子対 2 を開放、 $I_{2} = 0$ ）: $3 Ω$ には電流が流れないので、 $I_{1}$ は $2 Ω$ → 節点 M → $4 Ω$ と流れる。 $V_{1} = (2 + 4) I_{1} = 6 I_{1}$ より $Z_{11} = 6$ 。 $3 Ω$ で電圧降下がないので $V_{2}$ は節点 M の電位に等しく $V_{2} = 4 I_{1}$ 、よって $Z_{21} = 4$ 。

手順 3（端子対 1 を開放、 $I_{1} = 0$ ）: $I_{2}$ は $3 Ω$ → 節点 M → $4 Ω$ と流れる。 $V_{2} = (3 + 4) I_{2} = 7 I_{2}$ より $Z_{22} = 7$ 。 $2 Ω$ には電流が流れないので $V_{1}$ は節点 M の電位 $4 I_{2}$ に等しく、 $Z_{12} = 4$ 。

（確かめ: 抵抗だけの回路なので $Z_{12} = Z_{21}$ になっている。）

よって $(Z_{11}, Z_{12}, Z_{21}, Z_{22}) = (6, 4, 4, 7)$ 。

答え: $(6, 4, 4, 7)$

よくある誤り

$Y_{11} = \frac{1}{Z _{11}}$ としてしまう誤り。 $Z_{11}$ は端子対 2 を開放したとき、 $Y_{11}$ は端子対 2 を短絡したときの量なので、一般には逆数にならない。例題の T 形回路では $Z_{11} = 6 Ω$ だが、端子対 2 を短絡すると $2 + \frac{3 \times 4}{3 + 4} = \frac{26}{7} Ω$ なので $Y_{11} = \frac{7}{26} S$ （ $\frac{1}{6} S$ ではない）。正しくは Y 行列全体が Z 行列の逆行列
負荷をつないだときに $V_{2} = R_{L} I_{2}$ としてしまう誤り。 $I_{2}$ は回路に流れ込む向きが正なので、負荷には $- I_{2}$ が流れ、正しくは $V_{2} = - R_{L} I_{2}$ 。これにより入力抵抗は $Z_{11} - \frac{Z _{12} Z _{21}}{Z _{22} + R _{L}}$ となる（例題で $R_{L} = 5 Ω$ なら $6 - \frac{16}{12} = \frac{14}{3} Ω$ ）
π 形回路の Y パラメータで $Y_{12}$ の符号を正にしてしまう誤り。端子 1–2 間のアドミタンスを $Y_{c}$ 、各端子と共通線の間を $Y_{a}$ , $Y_{b}$ とすると、 $V_{1}$ だけをかけて端子対 2 を短絡したとき、 $Y_{c}$ を通って端子 2 から外へ電流が出ていくので $I_{2} = - Y_{c} V_{1}$ 。正しくは $Y_{11} = Y_{a} + Y_{c}$ , $Y_{12} = Y_{21} = - Y_{c}$ , $Y_{22} = Y_{b} + Y_{c}$
Z パラメータを求めるのに相手の端子対を短絡してしまう誤り。Z パラメータは電流を独立変数にとるので、相手側の電流を 0 にする、つまり開放する（ $Z_{11} = \frac{V _{1}}{I _{1}}_{I_{2} = 0}$ ）。短絡は Y パラメータを求めるときに使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
抵抗だけでできた T 形の二端子対回路がある。入力端子対を 1-1'、出力端子対を 2-2' とし、内部の節点を M とする。
- 抵抗 $R_{a} = 2 Ω$ が端子 1 と M の間にある
- 抵抗 $R_{b} = 3 Ω$ が M と端子 2 の間にある
- 抵抗 $R_{c} = 6 Ω$ が M と端子 1' の間にある
- 端子 1' と端子 2' は導線で直接つながっている
端子 1 の 1' に対する電圧を $V_{1}$ 、端子 2 の 2' に対する電圧を $V_{2}$ とし、端子 1 から回路に流れこむ電流を $I_{1}$ 、端子 2 から回路に流れこむ電流を $I_{2}$ とする。この回路の Z パラメータ（ $V_{1} = Z_{11} I_{1} + Z_{12} I_{2}$ , $V_{2} = Z_{21} I_{1} + Z_{22} I_{2}$ の係数、単位は $Ω$ ）を求め、組 $(Z_{11}, Z_{12}, Z_{21}, Z_{22})$ の形で答えよ。
11'22' $M$ $R_{a} = 2 Ω$ $R_{b} = 3 Ω$ $R_{c} = 6 Ω$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

F パラメータ（縦続行列）と縦続接続（大学物理電気回路）