電気回路の問題

F パラメータの定義

入力端子対の電圧・電流を $V_1$, $I_1$（$I_1$ は端子 $1$ から回路に流れこむ向き）、出力端子対の電圧・電流を $V_2$, $I_2$（$I_2$ は出力端子から負荷へ流れ出す向き）として、
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で F パラメータ $A,B,C,D$ を定める。この定義では、縦続接続した回路の F 行列は、各回路の F 行列の積になる（前の回路の出力電圧・出力電流が、そのまま次の回路の入力電圧・入力電流になるため）。

$\mathrm{N}$ の F 行列

直列のインピーダンス $Z$ の F 行列は $\left(\begin{array}{cc}1& Z\\ 0& 1\end{array}\right)$、並列（分岐）のアドミタンス $Y$ の F 行列は $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ Y& 1\end{array}\right)$ である。$\mathrm{N}$ は、直列 $2\Omega$、分岐 $2\Omega$（$Y=\frac{1}{2}\mathrm{S}$）、直列 $1\Omega$ の縦続接続なので
$$F_{\mathrm{N}}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)$$
（$B$ の単位は $\Omega$、$C$ の単位は $\mathrm{S}$）。$AD-BC=3-2=1$ で、抵抗だけの回路（相反回路）であることと合っている。

${\mathrm{N}}^{\prime }$ の F 行列

${\mathrm{N}}^{\prime }$ は直列 $1\Omega$、分岐 $2\Omega$、直列 $2\Omega$ の順なので
$$F_{{\mathrm{N}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 1\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 4\\ \frac{1}{2}& 2\end{array}\right)$$
これは、相反回路の入出力を入れかえると $A$ と $D$ が入れかわることとも一致する。

$\mathrm{K}$ の F 行列
$$F_{\mathrm{K}}=F_{\mathrm{N}}{F}_{{\mathrm{N}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 4\\ \frac{1}{2}& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3+2& 8+8\\ \frac{3}{4}+\frac{3}{4}& 2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 16\\ \frac{3}{2}& 5\end{array}\right)$$
よって $A=5$, $B=16\Omega$, $C=\frac{3}{2}\mathrm{S}$, $D=5$ である（$AD-BC=25-24=1$）。

出力側から見たテブナン等価回路

電源の起電力を $E=30\mathrm{V}$、内部抵抗を $R_s=4\Omega$ とすると、入力側では $V_1=E-R_s{I}_1$ が成り立つ。

- 出力開放（$I_2=0$）のとき、$V_1=A{V}_2$, $I_1=C{V}_2$ より $E=(A+R_{s}C)V_2$。開放電圧は
$$V_0=\frac{E}{A+R_{s}C}=\frac{30}{5+4\cdot \frac{3}{2}}=\frac{30}{11}\mathrm{V}$$
- 出力短絡（$V_2=0$）のとき、$V_1=B{I}_2$, $I_1=D{I}_2$ より $E=(B+R_{s}D)I_2$。短絡電流は
$$I_{\mathrm{s}}=\frac{E}{B+R_{s}D}=\frac{30}{16+20}=\frac{5}{6}\mathrm{A}$$

よって、端子対 $3$-$3^{\prime }$ から見た等価内部抵抗は
$$R_0=\frac{V_0}{I_{\mathrm{s}}}=\frac{B+R_{s}D}{A+R_{s}C}=\frac{36}{11}\Omega$$
回路は線形なので、テブナンの定理により、負荷から見ると起電力 $V_0$、内部抵抗 $R_0$ の電源と等価である。

最大電力

負荷の電力 $P=\frac{V_0^2{R}_L}{(R_0+R_L{)}^2}$ は、$R_L=R_0$ のとき最大になる（最大電力供給の定理。$\frac{(R_0+R_L{)}^2}{R_L}=\frac{R_0^2}{R_L}+2R_0+R_L\ge 4R_0$ で、等号は $R_L=R_0$）。最大値は
$$P_{\max }=\frac{V_0^2}{4R_0}=\frac{{\left(\frac{30}{11}\right)}^2}{4\cdot \frac{36}{11}}=\frac{900}{121}\cdot \frac{11}{144}=\frac{25}{44}\mathrm{W}$$

（確認: はしご形回路として直接たどると、$4+2=6\Omega$ と $2\Omega$ の並列で $\frac{3}{2}\Omega$、開放電圧 $30\cdot \frac{2}{8}=\frac{15}{2}\mathrm{V}$。さらに $1+1=2\Omega$ を足して $\frac{7}{2}\Omega$、これと $2\Omega$ の並列で $\frac{14}{11}\Omega$、開放電圧 $\frac{15}{2}\cdot \frac{2}{11/2}=\frac{30}{11}\mathrm{V}$。最後に $2\Omega$ を足して $\frac{36}{11}\Omega$ となり、一致する。）

答え: $\frac{25}{44}\mathrm{W}$

N は T 形で、直列 $2\Omega$、並列（M と 1'-2' 間）$2\Omega$、直列 $1\Omega$。N' は入れ替えなので直列 $1\Omega$、並列 $2\Omega$、直列 $2\Omega$。

F 行列で表す。直列 $Z$: $\left(\begin{array}{cc}1& Z\\ 0& 1\end{array}\right)$、並列 $Y$: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ Y& 1\end{array}\right)$。
N: $F_N=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1/2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1/2& 3/2\end{array}\right)$（行列式 $3-2=1$）。
N': $F_{N^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3/2& 1\\ 1/2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3/2& 4\\ 1/2& 3/2\end{array}\right)$。
K: $F_K=F_N{F}_{N^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1/2& 3/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3/2& 4\\ 1/2& 3/2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3+2& 8+6\\ 3/4+3/4& 2+9/4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 14\\ 3/2& 17/4\end{array}\right)$（行列式 $85/4-21=1/4$？ 確認: $5\cdot 17/4-14\cdot 3/2=21.25-21=0.25$。N の行列式 1、N' の行列式 $9/4-2=1/4$ ではなく、N' の計算を確認する必要がある。）

上の N' の積を再確認: $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3/2& 1\\ 1/2& 1\end{array}\right)$、これに $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ をかけると $\left(\begin{array}{cc}3/2& 3+1\\ 1/2& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3/2& 4\\ 1/2& 2\end{array}\right)$（行列式 $3-2=1$）。よって $F_{N^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}3/2& 4\\ 1/2& 2\end{array}\right)$。
再計算: $F_K=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1/2& 3/2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3/2& 4\\ 1/2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3+2& 8+8\\ 3/4+3/4& 2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 16\\ 3/2& 5\end{array}\right)$（行列式 $25-24=1$、相反回路で $A=D$ なので整合）。

つまり K は $V_1=5V_3+16I_3$、$I_1=\frac{3}{2}{V}_3+5I_3$（$I_3$ は負荷へ流れ出る向き）。

負荷側から見たテブナン等価: 電源側の抵抗 $4\Omega$ を含めて、出力端子から見たテブナン電圧と内部抵抗を求める。
開放（$I_3=0$）: $V_1=5V_3$、$I_1=\frac{3}{2}{V}_3$。電源 $V_1=30-4I_1$ より $5V_3=30-6V_3$、$V_{th}=V_3=\frac{30}{11}$ V。
短絡（$V_3=0$）: $V_1=16I_3$、$I_1=5I_3$、$16I_3=30-20I_3$ より $I_{sc}=I_3=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$ A。
$R_{th}=V_{th}/I_{sc}=\frac{30}{11}\cdot \frac{6}{5}=\frac{36}{11}\Omega$。
最大電力は $R_L=R_{th}=36/11\Omega$ のとき（$R_L>0$ を満たす）で
$P_{max}=\frac{V_{th}^2}{4R_{th}}=\frac{900/121}{144/11}=\frac{900}{11\cdot 144}=\frac{25}{44}$ W。

検算（はしご回路としての別解）: 全体は直列 2, 並列 2, 直列 $1+1=2$, 並列 2, 直列 2 のはしご。電源 $30$ V・$4\Omega$ から順にテブナン化すると、$4+2=6$ → 並列 2 で $V=7.5$, $R=1.5$ → 直列 2 で $R=3.5$ → 並列 2 で $V=7.5\cdot 2/5.5=30/11$, $R=3.5\cdot 2/5.5=14/11$ → 直列 2 で $R=36/11$。$V_{th}=30/11$, $R_{th}=36/11$ で一致。