テブナンの定理とノートンの定理

次のような直流回路があり、端子 A, B が外に出ている。節点は P, A, B の 3 つである。

• 起電力 $E=24\mathrm{V}$ の理想的な電圧源が B と P の間にあり、P の側が正極である
• 抵抗 $R_1=6\Omega$ が P と A の間にある
• 抵抗 $R_2=3\Omega$ が A と B の間にある

導線の抵抗は無視する。$R_2$ を含む回路全体（電圧源・$R_1$・$R_2$）を、端子 A-B から見た 1 つの二端子回路とみなし、テブナン等価回路（起電力 $V_{\mathrm{oc}}$ の電圧源と抵抗 $R_{\mathrm{th}}$ の直列接続）に置きかえる。ここで $V_{\mathrm{oc}}$ は、端子 A-B の外側に何もつながないとき（$R_2$ は回路に残したまま）の B に対する A の電位とする。$V_{\mathrm{oc}}$（V）と $R_{\mathrm{th}}$（$\Omega$）を求め、組 $(V_{\mathrm{oc}},R_{\mathrm{th}})$ の形で答えよ。

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{G}$ と端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ をもつ次の直流回路を考える。端子 $\mathrm{b}$ は節点 $\mathrm{G}$ に導線でつながっている。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、起電力 $E_1=18\mathrm{V}$ の直流電源（正極が $\mathrm{A}$ 側）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗 $R_1=6\Omega$
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ の間に、抵抗 $R_2=3\Omega$
• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{C}$ の間に、起電力 $E_2=6\mathrm{V}$ の直流電源（正極が $\mathrm{C}$ 側）
• 節点 $\mathrm{B}$ と端子 $\mathrm{a}$ の間に、抵抗 $R_3=4\Omega$

2 つの電源の内部抵抗と導線の抵抗は無視できる。端子 $\mathrm{a}$ と $\mathrm{b}$ の間に抵抗値 $R_L$ の可変抵抗（負荷）をつなぐ。$R_L$ を $R_L>0$ の範囲で調整したとき、負荷で消費される電力の最大値は何 $\mathrm{W}$ か。分数で答えよ。

節点 $\mathrm{U}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{O}$ と出力端子 $\mathrm{T}$ をもつ次の直流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{U}$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $18\mathrm{V}$ の電圧源（$\mathrm{U}$ の側が正極）
• 節点 $\mathrm{U}$ と $\mathrm{M}$ の間に $6\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{O}$ の間に $3\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{M}$ の間に、$\mathrm{O}$ から $\mathrm{M}$ の向きに $2\mathrm{A}$ の電流を流す理想的な電流源
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $\mathrm{T}$ の間に $2\Omega$ の抵抗

端子 $\mathrm{T}$ と節点 $\mathrm{O}$ の間に負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を正の範囲で変えるとき、$R_L$ で消費される電力が最大になる $R_L$ の値 [$\Omega$] と、そのときの電力 [W] を求め、組 $(R_L,P_{\max })$ としてこの順に答えよ。数値は整数または既約分数で答えること。

端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ をもつ箱 $\mathrm{N}$ がある。$\mathrm{N}$ の中は直流の独立電源（電圧源・電流源）と抵抗だけでできた線形な回路で、中身はわからない。端子 $\mathrm{a}$ と $\mathrm{b}$ の間に抵抗値 $R$ の負荷抵抗をつないで、$\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧（端子電圧）を測ったところ、次の結果を得た。

• $R=4\Omega$ のとき、端子電圧は $8\mathrm{V}$
• $R=12\Omega$ のとき、端子電圧は $12\mathrm{V}$

負荷抵抗の抵抗値 $R$（$R>0$）を自由に変えられるとき、負荷抵抗で消費される電力の最大値は何 $\mathrm{W}$ か。整数で求めよ。ただし、電圧の測定は回路に影響を与えないものとし、導線の抵抗は無視する。

節点 $\mathrm{S}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{G}$ と端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ をもつ直流回路を考える。端子 $\mathrm{b}$ は節点 $\mathrm{G}$ と導線でつながっている。素子は次のようにつながれている。

• 起電力 $E=30\mathrm{V}$ の理想電圧源（内部抵抗なし）: 正極を $\mathrm{S}$、負極を $\mathrm{G}$ につなぐ
• 抵抗 $R_1=6\Omega$: $\mathrm{S}$ と $\mathrm{A}$ の間
• 抵抗 $R_2=3\Omega$: $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間
• 電流 $J=2\mathrm{A}$ の理想電流源（内部コンダクタンスなし）: $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間につなぎ、電流源の内部を $\mathrm{G}$ から $\mathrm{A}$ の向きに電流 $J$ を流す
• 抵抗 $R_3=2\Omega$: $\mathrm{A}$ と端子 $\mathrm{a}$ の間

端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ の間に抵抗値を自由に変えられる負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を調整したとき、$R_L$ で消費される電力の最大値は何 W か。分数で正確に答えよ。導線の抵抗は無視する。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を、内部の節点 $\mathrm{a}$, ${\mathrm{a}}^{\prime }$ を使って次のように作る。

• 端子 $1$ と節点 $\mathrm{a}$ の間に抵抗 $2\Omega$
• 節点 $\mathrm{a}$ と節点 ${\mathrm{a}}^{\prime }$ の間に抵抗 $6\Omega$
• 端子 $1^{\prime }$ と節点 ${\mathrm{a}}^{\prime }$ は導線で直接つながれている
• 節点 $\mathrm{a}$-${\mathrm{a}}^{\prime }$ を一次側、端子 $2$-$2^{\prime }$ を二次側とする巻数比 $1:2$ の理想変成器。一次側の電圧 $V_{\mathrm{a}}=V_{\mathrm{a}{\mathrm{a}}^{\prime }}$（${\mathrm{a}}^{\prime }$ に対する $\mathrm{a}$ の電位）と二次側の電圧 $V_2$（$2^{\prime }$ に対する $2$ の電位）は $V_2=2V_{\mathrm{a}}$ を満たし、節点 $\mathrm{a}$ から一次側に流れ込む電流 $I_{\mathrm{a}}$ と端子 $2$ から外へ流れ出す電流 $I_2$ は $I_{\mathrm{a}}=2I_2$ を満たす

F パラメータ（縦続行列）は、入力端子の電圧 $V_1$、端子 $1$ に流れ込む電流 $I_1$、出力端子の電圧 $V_2$、端子 $2$ から流れ出す電流 $I_2$ を用いて
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。

いま、端子対 $1$-$1^{\prime }$ に起電力 $E=12\mathrm{V}$、内部抵抗 $r=4\Omega$ の直流電源をつなぎ（端子 $1$ 側が正極）、端子対 $2$-$2^{\prime }$ に負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を変えたとき、$R_L$ で消費される電力が最大になる $R_L$ の値（単位 $\Omega$）と、そのときの消費電力（単位 $\mathrm{W}$）を、この順に組で答えよ。

4 つの節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{G}$ をもつ直流回路を考える。起電力 $E=24\mathrm{V}$、内部抵抗 $r=1\Omega$ の電池が、正極を $\mathrm{A}$ 側、負極を $\mathrm{G}$ 側にして $\mathrm{A}$-$\mathrm{G}$ 間に接続されている（内部抵抗は起電力と直列とみなす）。さらに、$\mathrm{A}$-$\mathrm{P}$ 間に $R_1=2\Omega$、$\mathrm{P}$-$\mathrm{G}$ 間に $R_2=4\Omega$、$\mathrm{A}$-$\mathrm{Q}$ 間に $R_3=4\Omega$、$\mathrm{Q}$-$\mathrm{G}$ 間に $R_4=2\Omega$ の抵抗が接続されている。

$\mathrm{P}$-$\mathrm{Q}$ 間に抵抗値 $R_{\mathrm{L}}$ の負荷抵抗をつなぐ。$R_{\mathrm{L}}>0$ を変化させたとき、負荷抵抗で消費される電力が最大になる $R_{\mathrm{L}}$ の値（単位 $\Omega$）と、そのときの消費電力の最大値（単位 $\mathrm{W}$）を、この順に組 $(R_{\mathrm{L}},P_{\max })$ で、分数を用いた正確な値で求めよ。導線の抵抗は無視する。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を、内部の節点 $\mathrm{M}$ と次の 3 つの抵抗で作る（T 形回路）。端子 $1^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ は導線で直接つながっている。

• 端子 $1$ と節点 $\mathrm{M}$ の間に $2\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $2$ の間に $1\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $1^{\prime }$（端子 $2^{\prime }$）の間に $2\Omega$ の抵抗

次に、$\mathrm{N}$ と同じ回路をもう 1 つ用意し、入力側と出力側を入れかえて使ったものを ${\mathrm{N}}^{\prime }$ とする。すなわち ${\mathrm{N}}^{\prime }$ は、内部の節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ をもち、端子 $2$ と節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ の間に $1\Omega$、節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ と端子 $3$ の間に $2\Omega$、節点 ${\mathrm{M}}^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ の間に $2\Omega$ の抵抗をつないだ回路で、端子 $2^{\prime }$ と端子 $3^{\prime }$ は導線で直接つながっている。こうして、$\mathrm{N}$ の出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ に ${\mathrm{N}}^{\prime }$ を縦続接続した、入力端子対 $1$-$1^{\prime }$、出力端子対 $3$-$3^{\prime }$ の二端子対回路 $\mathrm{K}$ を作る。

端子対 $1$-$1^{\prime }$ に、起電力 $30\mathrm{V}$、内部抵抗 $4\Omega$ の直流電源を、端子 $1$ の側が正極になるようにつなぎ、端子対 $3$-$3^{\prime }$ に抵抗値 $R_L$（$R_L>0$）の負荷抵抗をつなぐ。$R_L$ を変えるとき、負荷抵抗で消費される電力の最大値は何 $\mathrm{W}$ か。$\mathrm{K}$ の F パラメータ（基本行列）を求めて考え、既約分数で答えよ。