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電気回路の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理電気回路

節点 $A$ , $B$ , $C$ , $G$ と端子 $a$ , $b$ をもつ次の直流回路を考える。端子 $b$ は節点 $G$ に導線でつながっている。

節点 $G$ と $A$ の間に、起電力 $E_{1} = 18 V$ の直流電源（正極が $A$ 側）
節点 $A$ と $B$ の間に、抵抗 $R_{1} = 6 Ω$
節点 $B$ と $C$ の間に、抵抗 $R_{2} = 3 Ω$
節点 $G$ と $C$ の間に、起電力 $E_{2} = 6 V$ の直流電源（正極が $C$ 側）
節点 $B$ と端子 $a$ の間に、抵抗 $R_{3} = 4 Ω$

2 つの電源の内部抵抗と導線の抵抗は無視できる。端子 $a$ と $b$ の間に抵抗値 $R_{L}$ の可変抵抗（負荷）をつなぐ。 $R_{L}$ を $R_{L} > 0$ の範囲で調整したとき、負荷で消費される電力の最大値は何 $W$ か。分数で答えよ。

A

B

C

G

a

b

E_{1}

R_{1}

R_{2}

E_{2}

R_{3}

R_{L}

この問題で使うもの

テブナンの定理とノートンの定理（説明と入口の問題）
最大電力供給の定理（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

端子 a-b から左側をテブナンの等価回路（電圧源 $V_{0}$ と抵抗 $R_{0}$ の直列）に置き換え、最大電力供給の条件を使いましょう。

ヒント 2

開放時は $R_{3}$ に電流が流れないので $V_{0}$ は節点 B の電位です。B で電流則を立てます。 $R_{0}$ は電源を短絡して端子から見た抵抗で、負荷の電力は $R_{L} = R_{0}$ で最大の $\frac{V _{0}^{2}}{4 R _{0}}$ になります。

ヒント 3

B の電位を $V_{B}$ とすると $\frac{18 - V _{B}}{6} = \frac{V _{B} - 6}{3}$ 、また $R_{0} = 6/ /3 + 4$ です。

答えと解説

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\frac{25}{6}

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解説を読む

テブナンの定理により、端子 $a$ - $b$ から左側の回路は、起電力 $V_{0}$ （開放電圧）の電源と内部抵抗 $R_{0}$ （電源を短絡して端子から見た合成抵抗）の直列回路に置き換えられる。回路は線形素子と理想電源だけでできているので、この定理が使える。

開放電圧 $V_{0}$

端子 $a$ - $b$ を開放すると $R_{3}$ に電流は流れないので、 $V_{0}$ は $G$ を基準とした $B$ の電位 $V_{B}$ に等しい。 $A$ の電位は $18 V$ 、 $C$ の電位は $6 V$ である。節点 $B$ でキルヒホッフの電流則（流れ込む電流と流れ出す電流が等しい）を立てると
$\frac{18 - V _{B}}{6} = \frac{V _{B} - 6}{3}$
両辺を 6 倍して $18 - V_{B} = 2 V_{B} - 12$ より $V_{B} = 10 V$ 。よって $V_{0} = 10 V$ 。

内部抵抗 $R_{0}$

2 つの電源を短絡すると、 $A$ と $C$ はどちらも $G$ と同電位になり、 $R_{1}$ と $R_{2}$ は $B$ - $G$ 間に並列につながる。これに $R_{3}$ が直列につながるので
$R_{0} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} + 4 = 2 + 4 = 6 Ω$

最大電力

負荷に流れる電流は $I = \frac{V _{0}}{R _{0} + R _{L}}$ なので、負荷の消費電力は
$P = R_{L} I^{2} = \frac{V _{0}^{2} R _{L}}{( R _{0} + R _{L} ) ^{2}} = \frac{V _{0}^{2}}{\frac{R _{0}^{2}}{R _{L}} + 2 R _{0} + R _{L}}$
相加平均と相乗平均の関係より $\frac{R _{0}^{2}}{R _{L}} + R_{L} ≧ 2 R_{0}$ で、等号は $R_{L} = R_{0}$ のとき成り立つ（最大電力供給の条件）。よって最大値は
$P_{m a x} = \frac{V _{0}^{2}}{4 R _{0}} = \frac{1 0 ^{2}}{4 \times 6} = \frac{100}{24} = \frac{25}{6} W$

別解

端子 a, b から見たテブナン等価回路を求める。
開放電圧: 負荷をはずすと $R_{3}$ に電流は流れないので、 $V_{a} = V_{B}$ 。G を 0 V とすると $V_{A} = 18$ V、 $V_{C} = 6$ V。A から B, C へ $R_{1} + R_{2} = 9 Ω$ を通って電流 $I = (18 - 6) /9 = 4/3$ A が流れる。 $V_{B} = 18 - 6 \times \frac{4}{3} = 10$ V。よって $V_{oc} = 10$ V（端子 b は G と同電位）。
内部抵抗: 電源を短絡すると、B から見て $R_{1} = 6 Ω$ と $R_{2} = 3 Ω$ が（A と C がともに G につながるので）並列で $6 \cdot 3/ (6 + 3) = 2 Ω$ 。これに $R_{3} = 4 Ω$ が直列なので $R_{t h} = 6 Ω$ 。
負荷電力 $P = (\frac{V _{oc}}{R _{t h} + R _{L}})^{2} R_{L}$ は $R_{L} = R_{t h} = 6 Ω$ で最大（ $R_{L} > 0$ の範囲にある）。
$P_{ma x} = \frac{V _{oc}^{2}}{4 R _{t h}} = \frac{100}{24} = \frac{25}{6}$ W。
検算: $R_{L} = 6$ のとき電流 $10/12 = 5/6$ A、 $P = (5/6)^{2} \cdot 6 = 25/6$ 。 $R_{L} = 3$ では $(10/9)^{2} \cdot 3 = 300/81 \approx 3.70 < 25/6 \approx 4.17$ 、 $R_{L} = 12$ では $(10/18)^{2} \cdot 12 \approx 3.70$ で小さい。

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