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電気回路の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理電気回路

節点 $U$ , $M$ , $O$ と出力端子 $T$ をもつ次の直流回路を考える。

節点 $O$ と $U$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $18 V$ の電圧源（ $U$ の側が正極）
節点 $U$ と $M$ の間に $6 Ω$ の抵抗
節点 $M$ と $O$ の間に $3 Ω$ の抵抗
節点 $O$ と $M$ の間に、 $O$ から $M$ の向きに $2 A$ の電流を流す理想的な電流源
節点 $M$ と端子 $T$ の間に $2 Ω$ の抵抗

端子 $T$ と節点 $O$ の間に負荷抵抗 $R_{L}$ をつなぐ。 $R_{L}$ を正の範囲で変えるとき、 $R_{L}$ で消費される電力が最大になる $R_{L}$ の値 [ $Ω$ ] と、そのときの電力 [W] を求め、組 $(R_{L}, P_{m a x})$ としてこの順に答えよ。数値は整数または既約分数で答えること。

UMTO

18 V

6 Ω

3 Ω

2 A

2 Ω

この問題で使うもの

テブナンの定理とノートンの定理（説明と入口の問題）
最大電力供給の定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

端子 $T$ - $O$ から左側の回路をテブナンの等価回路（起電力 $V_{0}$ と内部抵抗 $R_{0}$ の直列）におきかえて考えます。

ヒント 2

開放したときは $2 Ω$ の抵抗に電流が流れないので、 $V_{0}$ は節点 $M$ の電位です。 $R_{0}$ は、電圧源を短絡、電流源を開放して求めます。最大電力は $R_{L} = R_{0}$ のときで、 $P_{m a x} = \frac{V _{0}^{2}}{4 R _{0}}$ です。

ヒント 3

節点 $M$ の電流則は $\frac{V _{M} - 18}{6} + \frac{V _{M}}{3} = 2$ です。また $R_{0}$ は $6 Ω$ と $3 Ω$ の並列に $2 Ω$ を足したものです。

答えと解説

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(4, \frac{25}{4})

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解説を読む

負荷 $R_{L}$ から見た回路（端子 $T$ - $O$ より左側）は、電源と抵抗だけからなる線形回路なので、テブナンの定理により起電力 $V_{0}$ 、内部抵抗 $R_{0}$ の電源 1 つと等価になる。

開放電圧 $V_{0}$

$R_{L}$ をつながない（端子を開放した）とき、 $2 Ω$ の抵抗には電流が流れないので、端子 $T$ の電位は節点 $M$ の電位 $V_{M}$ に等しい（ $O$ を電位の基準とする）。節点 $M$ でキルヒホッフの電流則を書くと、 $M$ から流れ出す電流の和が、電流源から流れこむ $2 A$ に等しいので
$\frac{V _{M} - 18}{6} + \frac{V _{M}}{3} = 2$
両辺を 6 倍して $V_{M} - 18 + 2 V_{M} = 12$ 、よって $V_{M} = 10 V$ 。したがって $V_{0} = 10 V$ 。

（重ね合わせで確かめると、電圧源だけのとき $18 \times \frac{3}{6 + 3} = 6 V$ 、電流源だけのとき $2 \times \frac{6 \times 3}{6 + 3} = 4 V$ で、合計 $10 V$ 。）

等価内部抵抗 $R_{0}$

電圧源を短絡、電流源を開放して端子 $T$ - $O$ から見ると、 $6 Ω$ と $3 Ω$ が $M$ - $O$ 間で並列になり、それに $2 Ω$ が直列につながる。
$R_{0} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} + 2 = 2 + 2 = 4 Ω$

最大電力

負荷の電力は
$P = (\frac{V _{0}}{R _{0} + R _{L}})^{2} R_{L} = \frac{V _{0}^{2}}{\frac{R _{0}^{2}}{R _{L}} + 2 R _{0} + R _{L}}$
で、相加平均と相乗平均の関係より $\frac{R _{0}^{2}}{R _{L}} + R_{L} \geq 2 R_{0}$ （等号は $R_{L} = R_{0}$ ）だから、 $P$ は $R_{L} = R_{0} = 4 Ω$ のとき最大になる（最大電力供給の定理）。最大値は
$P_{m a x} = \frac{V _{0}^{2}}{4 R _{0}} = \frac{1 0 ^{2}}{4 \times 4} = \frac{25}{4} W$

答え: $(4, \frac{25}{4})$

別解

端子 T と節点 O から見たテブナン等価回路を求める。O を 0 V とする（ $V_{U} = 18$ V）。
開放電圧: $R_{L}$ を外すと T-M 間の $2 Ω$ に電流は流れないので $V_{T} = V_{M}$ 。節点 M への電流: U から $6 Ω$ を通って流入 $(18 - V_{M}) /6$ 、電流源から流入 $2$ A（O から M の向き）、 $3 Ω$ を通って O へ流出 $V_{M} /3$ 。
$\frac{18 - V _{M}}{6} + 2 = \frac{V _{M}}{3}$ → $18 - V_{M} + 12 = 2 V_{M}$ → $V_{M} = 10$ V。よって $V_{t h} = 10$ V。
内部抵抗: 電圧源は短絡（U=O）、電流源は開放にする。M から O へ見ると $6 Ω$ と $3 Ω$ が並列で $2 Ω$ 、これに $2 Ω$ が直列なので $R_{t h} = 4 Ω$ 。
最大電力は $R_{L} = R_{t h} = 4 Ω$ のとき、 $P_{ma x} = \frac{V _{t h}^{2}}{4 R _{t h}} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$ W。
検算: $R_{L} = 4$ のとき電流 $10/8 = 5/4$ A、 $P = (5/4)^{2} \cdot 4 = 25/4$ 。 $R_{L} = 2$ : $(10/6)^{2} \cdot 2 = 50/9 \approx 5.56 < 6.25$ 、 $R_{L} = 8$ : $(10/12)^{2} \cdot 8 = 50/9 < 6.25$ で最大であることと整合する。

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