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電気回路の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電気回路

4 つの節点 $G$ , $A$ , $X$ , $Y$ をもつ次の直流回路を考える。

節点 $G$ と $A$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $E = 18 V$ の電池（ $A$ 側が正極）
節点 $A$ と $X$ の間に抵抗 $R_{1} = 3 Ω$
節点 $X$ と $G$ の間に抵抗 $R_{2} = 6 Ω$
節点 $X$ と $Y$ の間に抵抗 $R_{3} = 2 Ω$
節点 $Y$ と $G$ の間に抵抗 $R_{4} = 4 Ω$
節点 $G$ と $Y$ の間に、 $G$ から $Y$ の向きに一定の電流 $J = 4 A$ を流す理想電流源

回路が定常状態にあるとき、電池が回路に供給する電力（単位 $W$ ）を求めよ。

A

X

Y

G

E = 18 V

R_{1} = 3 Ω

R_{2} = 6 Ω

R_{3} = 2 Ω

R_{4} = 4 Ω

J = 4 A

この問題で使うもの

節点解析（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

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ヒント

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ヒント 1

節点 $G$ を基準（電位 $0$ ）にとると、節点 $A$ の電位は電池で決まります。未知数は $X$ と $Y$ の電位の 2 つだけなので、節点解析が向いています。

ヒント 2

節点 $X$ と $Y$ でキルヒホッフの電流則を立てます。電流源の電流 $J$ は節点 $Y$ に流れ込む既知の電流として扱います。

ヒント 3

節点方程式を整理すると $2 V_{X} - V_{Y} = 12$ と $- 2 V_{X} + 3 V_{Y} = 16$ になります。これを解いて $V_{X}$ を求め、 $R_{1}$ を流れる電流から電池の電流を出しましょう。

答えと解説

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30

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解説を読む

節点 $G$ の電位を $0$ とし、節点 $X$ , $Y$ の電位を $V_{X}$ , $V_{Y}$ （単位 $V$ ）とする。電池の内部抵抗は無視できるので、節点 $A$ の電位は $E = 18 V$ に固定される。

各節点で、流れ出る電流の和が流れ込む電流の和に等しい（キルヒホッフの電流則。電荷が節点にたまらないことによる）として節点方程式を立てる。各抵抗の電流はオームの法則で表す。

節点 $X$ （ $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ へ流れ出る電流の和が $0$ ）
$\frac{V _{X} - 18}{3} + \frac{V _{X}}{6} + \frac{V _{X} - V _{Y}}{2} = 0$
両辺を $6$ 倍して $2 V_{X} - 36 + V_{X} + 3 V_{X} - 3 V_{Y} = 0$ 、すなわち
$2 V_{X} - V_{Y} = 12 (1)$

節点 $Y$ （電流源から $J = 4 A$ が流れ込み、 $R_{3}$ , $R_{4}$ へ流れ出る）
$\frac{V _{Y} - V _{X}}{2} + \frac{V _{Y}}{4} = 4$
両辺を $4$ 倍して $2 V_{Y} - 2 V_{X} + V_{Y} = 16$ 、すなわち
$- 2 V_{X} + 3 V_{Y} = 16 (2)$

$(1) + (2)$ より $2 V_{Y} = 28$ 、よって $V_{Y} = 14 V$ 。 $(1)$ に代入して $V_{X} = 13 V$ 。

電池の電力

電池を流れる電流は $R_{1}$ を $A$ から $X$ へ流れる電流に等しく
$I_{1} = \frac{18 - V _{X}}{R _{1}} = \frac{18 - 13}{3} = \frac{5}{3} A$
この電流は電池の内部を負極（ $G$ ）から正極（ $A$ ）へ流れるので、電池は電力を供給しており、その大きさは
$P = E I_{1} = 18 \times \frac{5}{3} = 30 W$

検算（電力の収支）

電流源の両端の電圧は $V_{Y} = 14 V$ で、 $G$ から $Y$ へ電流を押し上げているので供給電力は $14 \times 4 = 56 W$ 。抵抗の消費電力は
$R_{1} : 3 (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{3}, R_{2} : \frac{1 3 ^{2}}{6} = \frac{169}{6}, R_{3} : \frac{( 14 - 13 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{2}, R_{4} : \frac{1 4 ^{2}}{4} = 49$
で、合計は $\frac{50 + 169 + 3 + 294}{6} = 86 W$ 。供給の合計 $30 + 56 = 86 W$ と一致する。

したがって、電池が供給する電力は $30 W$ 。

別解

$G$ の電位を 0 とすると、電池により $V_{A} = 18 V$ 。 $V_{X}$ , $V_{Y}$ を未知数として節点方程式を立てる。

節点 $X$ （流入 = 流出）: $\frac{18 - V _{X}}{3} = \frac{V _{X}}{6} + \frac{V _{X} - V _{Y}}{2}$
6 倍して $36 - 2 V_{X} = V_{X} + 3 (V_{X} - V_{Y})$ より $36 = 6 V_{X} - 3 V_{Y}$ …(1)

節点 $Y$ : $R_{3}$ から流れ込む $\frac{V _{X} - V _{Y}}{2}$ と電流源から流れ込む $J = 4$ A の和が、 $R_{4}$ を通って $G$ へ流れる $\frac{V _{Y}}{4}$ に等しい。
$\frac{V _{X} - V _{Y}}{2} + 4 = \frac{V _{Y}}{4}$
4 倍して $2 V_{X} - 2 V_{Y} + 16 = V_{Y}$ より $3 V_{Y} = 2 V_{X} + 16$ …(2)

(2) を (1) に代入: $36 = 6 V_{X} - (2 V_{X} + 16) = 4 V_{X} - 16$ より $V_{X} = 13 V$ 、 $V_{Y} = \frac{26 + 16}{3} = 14 V$ 。

電池から流れ出る電流は $R_{1}$ を流れる電流に等しく $I = \frac{18 - 13}{3} = \frac{5}{3} A$ 。
電池が供給する電力 $P = E I = 18 \times \frac{5}{3} = 30 W$ 。

検算（電力の収支）: 消費電力は $R_{1}$ : $\frac{25}{3}$ 、 $R_{2}$ : $\frac{1 3 ^{2}}{6} = \frac{169}{6}$ 、 $R_{3}$ : $\frac{1}{2}$ 、 $R_{4}$ : $\frac{1 4 ^{2}}{4} = 49$ で合計 $86 W$ 。電流源が供給する電力は $J V_{Y} = 4 \times 14 = 56 W$ 。 $30 + 56 = 86$ で一致する。

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