電気回路の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電気回路

4 つの節点 $G$ , $A$ , $B$ , $C$ をもつ次の直流回路を考える。

節点 $G$ と $A$ の間に、起電力 $E = 12 V$ 、内部抵抗の無視できる直流電源がある。正極は $A$ 側である
節点 $A$ と $B$ の間に抵抗 $R_{1} = 2 Ω$
節点 $B$ と $G$ の間に抵抗 $R_{2} = 4 Ω$
節点 $B$ と $C$ の間に抵抗 $R_{3} = 4 Ω$
節点 $C$ と $G$ の間に抵抗 $R_{4} = 2 Ω$
節点 $A$ と $C$ の間に抵抗 $R_{5} = 4 Ω$
節点 $B$ と $C$ の間に、 $R_{3}$ と並列に電流制御電流源がある。この電流源は、 $R_{4}$ を $C$ から $G$ の向きに流れる電流を $I_{x}$ として、自身の内部を $C$ から $B$ の向きに大きさ $\frac{1}{2} I_{x}$ の電流を流す（ $I_{x}$ が負のときは逆向きに流れる）

導線の抵抗は無視できるものとする。回路が定常状態にあるとき、電流制御電流源が回路に供給する電力（単位は $W$ 。電力を消費する場合は負の値とする）を求めよ。

G

A

B

C

E

R_{5}

R_{1}

R_{3}

\frac{1}{2} I_{x}

R_{2}

R_{4}

I_{x}

この問題で使うもの

従属電源を含む回路（説明と入口の問題）
節点解析（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

$G$ を基準にとり、 $V_{A} = 12 V$ として、未知の節点電位 $V_{B}$ , $V_{C}$ について節点方程式を立てる。制御量 $I_{x}$ は $V_{C}$ で表せる。

ヒント 2

$I_{x} = \frac{V _{C}}{2}$ なので、電流源は $C$ から $\frac{V _{C}}{4}$ を引き出し $B$ に注入する。これを節点 $B$ , $C$ のキルヒホッフの電流則に入れる。

ヒント 3

節点方程式を整理すると $2 V_{B} - V_{C} = 12$ 、 $- V_{B} + 5 V_{C} = 12$ となる。これを解いて電流源の両端の電位差と電流から電力を求める。

答えと解説

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4

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節点電位の設定
節点 $G$ を電位の基準（ $0 V$ ）とし、節点 $A$ , $B$ , $C$ の電位を $V_{A}$ , $V_{B}$ , $V_{C}$ とする。理想電圧源が $G$ - $A$ 間にあるので $V_{A} = E = 12 V$ 。また制御電流は
$I_{x} = \frac{V _{C}}{R _{4}} = \frac{V _{C}}{2}$
であり、電流源は $C$ から電流 $\frac{1}{2} I_{x} = \frac{V _{C}}{4}$ を引き出して $B$ に注入する。

節点方程式（キルヒホッフの電流則）
各節点から抵抗を通って流れ出る電流の和が、電流源が注入する電流に等しい。

節点 $B$ :
$\frac{V _{B} - 12}{2} + \frac{V _{B}}{4} + \frac{V _{B} - V _{C}}{4} = \frac{V _{C}}{4} (1)$
節点 $C$ :
$\frac{V _{C} - V _{B}}{4} + \frac{V _{C}}{2} + \frac{V _{C} - 12}{4} = - \frac{V _{C}}{4} (2)$

$(1)$ の両辺を $4$ 倍すると
$2 V_{B} - 24 + V_{B} + V_{B} - V_{C} = V_{C} ⟹ 4 V_{B} - 2 V_{C} = 24 ⟹ 2 V_{B} - V_{C} = 12. (3)$
$(2)$ の両辺を $4$ 倍すると
$V_{C} - V_{B} + 2 V_{C} + V_{C} - 12 = - V_{C} ⟹ - V_{B} + 5 V_{C} = 12. (4)$
$(3)$ より $V_{C} = 2 V_{B} - 12$ を $(4)$ に代入して
$- V_{B} + 10 V_{B} - 60 = 12 ⟹ V_{B} = 8 V, V_{C} = 4 V .$
よって $I_{x} = 2 A$ 、電流源の電流は $\frac{1}{2} I_{x} = 1 A$ （ $C \to B$ の向き）。

電流源の供給電力
電流源は内部で電流 $1 A$ を電位の低い $C$ （ $4 V$ ）から電位の高い $B$ （ $8 V$ ）へ押し上げているので、回路に電力を供給している。その大きさは
$P = (V_{B} - V_{C}) \times 1 = (8 - 4) \times 1 = 4 W .$

検算（電力の収支）
各抵抗の電流は $R_{1}$ : $\frac{12 - 8}{2} = 2 A$ 、 $R_{2}$ : $\frac{8}{4} = 2 A$ 、 $R_{3}$ : $\frac{8 - 4}{4} = 1 A$ 、 $R_{4}$ : $2 A$ 、 $R_{5}$ : $\frac{12 - 4}{4} = 2 A$ 。消費電力の合計は
$2^{2} \cdot 2 + 2^{2} \cdot 4 + 1^{2} \cdot 4 + 2^{2} \cdot 2 + 2^{2} \cdot 4 = 8 + 16 + 4 + 8 + 16 = 52 W .$
電源 $E$ が送り出す電流は $R_{1}$ と $R_{5}$ の電流の和 $4 A$ なので、供給電力は $12 \times 4 = 48 W$ 。 $48 + 4 = 52 W$ となり、エネルギー保存（テレゲンの定理）と一致する。

したがって答えは $4$ である。

別解

G を基準 0 V とし、 $V_{A} = E = 12$ V、B・C の電位を $V_{B}, V_{C}$ とする。 $I_{x} = V_{C} / R_{4} = V_{C} /2$ なので、電流源の電流は $\frac{1}{2} I_{x} = V_{C} /4$ （C から B の向き、つまり C から電流源内部を通って B へ）。

節点 B の電流のつり合い（流入=流出）: 流入は R1 から $(12 - V_{B}) /2$ と電流源から $V_{C} /4$ 、流出は R2 へ $V_{B} /4$ と R3 へ $(V_{B} - V_{C}) /4$ 。
$(12 - V_{B}) /2 + V_{C} /4 = V_{B} /4 + (V_{B} - V_{C}) /4$ → 両辺に 4 をかけて $24 - 2 V_{B} + V_{C} = V_{B} + V_{B} - V_{C}$ → $2 V_{B} - V_{C} = 12$ …(1)

節点 C の電流のつり合い: 流入は R3 から $(V_{B} - V_{C}) /4$ 、R5 から $(12 - V_{C}) /4$ 、流出は電流源へ $V_{C} /4$ と R4 へ $V_{C} /2$ 。
$(V_{B} - V_{C}) + (12 - V_{C}) = V_{C} + 2 V_{C}$ → $V_{B} = 5 V_{C} - 12$ …(2)

(2) を (1) に代入: $10 V_{C} - 24 - V_{C} = 12$ → $V_{C} = 4$ V、 $V_{B} = 8$ V。
$I_{x} = 2$ A、電流源の電流は $1$ A（C から B の向き）。

検算: B で流入 $(12 - 8) /2 + 1 = 3$ A、流出 $8/4 + (8 - 4) /4 = 2 + 1 = 3$ A。C で流入 $(8 - 4) /4 + (12 - 4) /4 = 1 + 2 = 3$ A、流出 $1 + 4/2 = 3$ A。成り立つ。

電流源の両端: 電流は低電位の C 側から取り込み、高電位の B 側へ送り出している（ $V_{B} - V_{C} = 4$ V）。電流が高電位側へ向かって流れるので、電流源は電力を供給する。
$P = (V_{B} - V_{C}) \times 1 = 4 \times 1 = 4$ W（供給なので正）。

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