網目解析

独立な網目ごとに網目電流を仮定し、キルヒホッフの電圧則で網目方程式（インピーダンス行列）を立てて解き、各枝の電流・電圧や素子の消費電力を求められる

前提

キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（38 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
電池の起電力・内部抵抗・端子電圧（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則（高校物理電流と回路）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）

説明

網目解析は、平面に描いた回路を「窓」のような小さな閉回路（網目）に分け、各網目をぐるりと回る電流（網目電流）を未知数にとって回路を解く方法です。各網目でキルヒホッフの電圧則を書くと、網目電流についての連立 1 次方程式（網目方程式）が得られ、その係数は抵抗（交流ではインピーダンス）を並べた行列になります。これを解けば、各枝の電流は網目電流の和や差として求まり、素子の電圧や消費電力もすぐに計算できます。

なぜそうしてよいのか

網目電流を使うと第 1 法則が自動的に満たされる。 各網目に、その網目の周を一方向に回る電流 $I_{1}, I_{2}, \dots$ を仮定します。実際の枝の電流は、その枝を通る網目電流を向きに注意して足し合わせたものとします。網目電流はどの節点にも「入った分だけ出ていく」ので、こうして決めた枝の電流はどの節点でも電流の保存（第 1 法則）を自動的に満たします。ですから、残る条件は第 2 法則（電圧則）だけで、それを網目の数だけ書けば未知数と式の数がそろいます。

網目方程式の形。 網目 $i$ を自分の網目電流の向きに 1 周すると、「その向きの起電力の和 $=$ 抵抗での電圧降下の和」です。網目 $i$ だけに属する抵抗には $I_{i}$ が流れ、隣の網目 $j$ と共有する抵抗には（両方の網目電流を同じ回転方向、たとえばどちらも時計回りにとると）向きが逆になるので $I_{i} - I_{j}$ が流れます。したがって網目 $i$ の式は
$(網目 i の抵抗 \sum R) I_{i} - j \neq = i \sum R_{ij} I_{j} = \sum (網目 i を回る向きの起電力)$
となります（ $R_{ij}$ は網目 $i$ と $j$ が共有する抵抗）。係数を並べた行列は、対角成分が「その網目の抵抗の総和」、非対角成分が「共有する抵抗の符号を変えたもの」で、対称行列になります。

起電力の符号。 網目を回る向きに電池を負極から正極へ通り抜けるなら、その起電力は $+$ 、正極から負極へ通り抜けるなら $-$ で右辺に入れます。網目電流が負になったら、実際の電流が仮定と逆向きだったというだけで、式を立て直す必要はありません。

手順

回路を平面に描き、内側に他の枝を含まない独立な網目を選んで、それぞれに同じ回転方向の網目電流 $I_{1}, I_{2}, \dots$ を仮定する
各網目を網目電流の向きに 1 周し、抵抗の電圧降下を書く。自分だけの抵抗は $R I_{i}$ 、隣の網目 $j$ と共有する抵抗は $R (I_{i} - I_{j})$
右辺に、その網目を回る向きの起電力を符号付きで足す（負極→正極と通るなら $+$ 、正極→負極なら $-$ ）
得られた連立 1 次方程式（係数行列: 対角に網目の抵抗の総和、非対角に共有抵抗の $- 1$ 倍）を解く
各枝の電流を網目電流の和・差で求め、電圧 $R I$ や消費電力 $R I^{2}$ を計算する

例題

節点 0、a、b、c からなる直流回路がある。節点 0 と a の間に起電力 $8 V$ の理想電池（a 側が正極）、a と b の間に $2 Ω$ の抵抗、b と 0 の間に $4 Ω$ の抵抗、b と c の間に $2 Ω$ の抵抗、c と 0 の間に起電力 $2 V$ の理想電池（c 側が正極）がつながっている。 $4 Ω$ の抵抗で消費される電力（単位 W）を求めよ。

例題の解答

手順 1（網目電流）：独立な網目は「0→a→b→0」と「0→b→c→0」の 2 つ。前者を回る網目電流を $I_{1}$ 、後者を回る網目電流を $I_{2}$ とする。共有する枝は b–0 の $4 Ω$ で、そこでは $I_{1}$ は b→0、 $I_{2}$ は 0→b の向きに流れる。

手順 2・3（網目方程式）：
網目 1（0→a→b→0）：電池を負極→正極と通るので起電力 $+ 8$ 。電圧降下は $2 I_{1} + 4 (I_{1} - I_{2})$ 。
$6 I_{1} - 4 I_{2} = 8$
網目 2（0→b→c→0）：c→0 で電池を正極→負極と通るので起電力 $- 2$ 。電圧降下は $4 (I_{2} - I_{1}) + 2 I_{2}$ 。
$- 4 I_{1} + 6 I_{2} = - 2$

手順 4（解く）：1 つ目の式を 3 倍、2 つ目の式を 2 倍して足すと $(18 - 8) I_{1} = 24 - 4$ 、 $I_{1} = 2$ 。1 つ目の式に代入して $12 - 4 I_{2} = 8$ 、 $I_{2} = 1$ 。

手順 5（電力）： $4 Ω$ の抵抗を b→0 の向きに流れる電流は $I_{1} - I_{2} = 1 A$ 。消費電力は
$R I^{2} = 4 \times 1^{2} = 4 W .$
（確認：節点電位は a が $8$ 、b が $8 - 2 \times 2 = 4$ 、c が $4 - 2 \times 1 = 2 V$ で、c と 0 の間の電池の起電力 $2 V$ と一致する。）

答え: $4$

よくある誤り

共有する抵抗の電圧降下を $R (I_{1} + I_{2})$ としてしまう誤り。2 つの網目電流を同じ回転方向にとると共有枝では向きが逆なので、正しくは網目 1 の式で $R (I_{1} - I_{2})$ 、網目 2 の式で $R (I_{2} - I_{1})$ （上の例では $4 (I_{1} - I_{2})$ ）
共有枝の電流を片方の網目電流だけで $I_{1}$ としてしまう誤り。共有枝を流れる電流は網目電流の差で、上の例の $4 Ω$ では正しくは $I_{1} - I_{2} = 1 A$ 。 $I_{1} = 2$ を使うと電力を $16 W$ と誤る
電池の起電力の符号を、網目を回る向きと無関係にすべて $+$ にしてしまう誤り。正極→負極の向きに通り抜けるときは $-$ で、上の例の網目 2 は正しくは $- 4 I_{1} + 6 I_{2} = - 2$ （ $+ 2$ にすると $I_{2}$ が変わる）
網目電流が負になったので仮定をやり直してしまう、あるいは負の値のまま電力を $R I$ で計算してしまう誤り。負の値は向きが逆だという意味なのでそのまま使ってよく、電力は正しくは $R I^{2}$ （符号によらず正）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次のような直流回路がある。節点 A, B, C が上側に、節点 F, E, D が下側にこの順に並んでいる。
- 起電力 $E_{1} = 8 V$ の電池が F と A の間にあり、A の側が正極である
- 抵抗 $R_{1} = 1 Ω$ が A と B の間にある
- 抵抗 $R_{2} = 1 Ω$ が B と C の間にある
- 起電力 $E_{2} = 2 V$ の電池が D と C の間にあり、C の側が正極である
- 抵抗 $R_{3} = 2 Ω$ が B と E の間にある
- F と E、E と D はそれぞれ導線でつながっている
電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視する。左の網目 A→B→E→F→A と右の網目 B→C→D→E→B にそれぞれ網目電流をとって網目解析を行い、抵抗 $R_{3}$ を B から E の向きに流れる電流は何 A か求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $E_{1} = 8 V$ $R_{1} = 1 Ω$ $R_{2} = 1 Ω$ $E_{2} = 2 V$ $R_{3} = 2 Ω$

この技能の次に学べること

従属電源を含む回路（大学物理電気回路）