電気回路の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理電気回路

次のような直流回路がある。節点 A, B, C が上側に、節点 F, E, D が下側にこの順に並んでいる。

起電力 $E_{1} = 8 V$ の電池が F と A の間にあり、A の側が正極である
抵抗 $R_{1} = 1 Ω$ が A と B の間にある
抵抗 $R_{2} = 1 Ω$ が B と C の間にある
起電力 $E_{2} = 2 V$ の電池が D と C の間にあり、C の側が正極である
抵抗 $R_{3} = 2 Ω$ が B と E の間にある
F と E、E と D はそれぞれ導線でつながっている

電池の内部抵抗と導線の抵抗は無視する。左の網目 A→B→E→F→A と右の網目 B→C→D→E→B にそれぞれ網目電流をとって網目解析を行い、抵抗 $R_{3}$ を B から E の向きに流れる電流は何 A か求めよ。

A

B

C

D

E

F

E_{1} = 8 V

R_{1} = 1 Ω

R_{2} = 1 Ω

E_{2} = 2 V

R_{3} = 2 Ω

この問題で使うもの

網目解析（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「網目解析」を使います。左右の網目に時計回りの網目電流 $I_{1}$ , $I_{2}$ をおき、共通の抵抗 $R_{3}$ には $I_{1} - I_{2}$ が流れると考えます。

ヒント 2

各網目で「電圧降下の和 $=$ 起電力の和」を立てます。網目の向きに電池を負極から正極へ通るなら $+$ 、正極から負極へ通るなら $-$ です。

ヒント 3

左の網目は $3 I_{1} - 2 I_{2} = 8$ 、右の網目は $- 2 I_{1} + 3 I_{2} = - 2$ となります。この連立方程式を解いて $I_{1} - I_{2}$ を計算しましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

方針: 2 つの網目に網目電流を仮定し、それぞれの網目でキルヒホッフの電圧則（起電力の和 $=$ 電圧降下の和）を立てて連立方程式を解く。 $R_{3}$ は 2 つの網目に共通なので、その電流は 2 つの網目電流の差になる。

1. 網目電流をおく 左の網目に A→B→E→F→A の向き（時計回り）に $I_{1}$ 、右の網目に B→C→D→E→B の向き（時計回り）に $I_{2}$ をおく。 $R_{3}$ を B から E へ流れる電流は $I_{1} - I_{2}$ である。

2. 左の網目の方程式 電圧降下は $R_{1}$ で $R_{1} I_{1}$ 、 $R_{3}$ で $R_{3} (I_{1} - I_{2})$ 。起電力は、F→A の向きに負極から正極へ通るので $+ E_{1}$ 。
$R_{1} I_{1} + R_{3} (I_{1} - I_{2}) = E_{1} ⟹ 3 I_{1} - 2 I_{2} = 8 (1)$

3. 右の網目の方程式 電圧降下は $R_{2}$ で $R_{2} I_{2}$ 、 $R_{3}$ で（E→B の向きに $I_{2}$ が流れると見て） $R_{3} (I_{2} - I_{1})$ 。起電力は、C→D の向きに正極から負極へ通るので $- E_{2}$ 。
$R_{2} I_{2} + R_{3} (I_{2} - I_{1}) = - E_{2} ⟹ - 2 I_{1} + 3 I_{2} = - 2 (2)$

行列で書くと
$(3 - 2 - 2 3) (I_{1} I_{2}) = (8 - 2) .$

4. 解く $(1) \times 3 + (2) \times 2$ より $9 I_{1} - 4 I_{1} = 24 - 4$ 、すなわち $5 I_{1} = 20$ で $I_{1} = 4 A$ 。 $(1)$ に代入して $12 - 2 I_{2} = 8$ より $I_{2} = 2 A$ 。

5. $R_{3}$ の電流
$I_{1} - I_{2} = 4 - 2 = 2 A .$
正なので、仮定どおり B から E の向きに $2 A$ 流れる。

（確かめ: E の電位を $0$ とすると B の電位は $R_{3} \times 2 = 4 V$ 。 $R_{1}$ には $(8 - 4) /1 = 4 A = I_{1}$ 、 $R_{2}$ には $(4 - 2) /1 = 2 A = I_{2}$ が流れ、節点 B で $4 = 2 + 2$ が成り立つ。）

別解

左の網目（A→B→E→F→A）の網目電流を $I_{1}$ 、右の網目（B→C→D→E→B）の網目電流を $I_{2}$ とし、どちらも上の向きの順（左は時計回り、右も時計回り）にとる。 $R_{3}$ は両方の網目に共通で、B→E の向きに流れる電流は $I_{1} - I_{2}$ 。

左の網目（時計回り）: 電池 $E_{1}$ は F→A の向きに起電力 $+ 8 V$ （F が負極、A が正極なので周回方向 F→A は電位が上がる）。抵抗で $R_{1} I_{1} + R_{3} (I_{1} - I_{2})$ の電圧降下。
$8 = 1 \cdot I_{1} + 2 (I_{1} - I_{2}) \Rightarrow 3 I_{1} - 2 I_{2} = 8.$
右の網目（時計回り B→C→D→E→B）: C→D の向きに電池 $E_{2}$ （C が正極）を通るので電位が $2 V$ 下がる、すなわち起電力は $- 2 V$ 。抵抗で $R_{2} I_{2} + R_{3} (I_{2} - I_{1})$ の電圧降下。
$- 2 = 1 \cdot I_{2} + 2 (I_{2} - I_{1}) \Rightarrow - 2 I_{1} + 3 I_{2} = - 2.$
連立すると、 $I_{1} = (8 + 2 I_{2}) /3$ を代入して $3 I_{2} - \frac{2 ( 8 + 2 I _{2} )}{3} = - 2$ 、すなわち $9 I_{2} - 16 - 4 I_{2} = - 6$ より $I_{2} = 2 A$ 、 $I_{1} = 4 A$ 。
$R_{3}$ を B から E に流れる電流は $I_{1} - I_{2} = 2 A$ 。

検算（節点解析）: F, E, D は導線でつながっているので電位 0、A は $8 V$ 、C は $2 V$ 。B の電位を $V_{B}$ として $\frac{8 - V _{B}}{1} + \frac{2 - V _{B}}{1} = \frac{V _{B}}{2}$ より $V_{B} = 4 V$ 。 $R_{3}$ を流れる電流は $4/2 = 2 A$ で一致する。

この問題の確認

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