電気回路の問題

節点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{G}$ と端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ をもつ次の直流回路を考える。端子 $\mathrm{b}$ は節点 $\mathrm{G}$ に導線でつながっている。

• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{A}$ の間に、起電力 $E_1=18\mathrm{V}$ の直流電源（正極が $\mathrm{A}$ 側）
• 節点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間に、抵抗 $R_1=6\Omega$
• 節点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ の間に、抵抗 $R_2=3\Omega$
• 節点 $\mathrm{G}$ と $\mathrm{C}$ の間に、起電力 $E_2=6\mathrm{V}$ の直流電源（正極が $\mathrm{C}$ 側）
• 節点 $\mathrm{B}$ と端子 $\mathrm{a}$ の間に、抵抗 $R_3=4\Omega$

2 つの電源の内部抵抗と導線の抵抗は無視できる。端子 $\mathrm{a}$ と $\mathrm{b}$ の間に抵抗値 $R_L$ の可変抵抗（負荷）をつなぐ。$R_L$ を $R_L>0$ の範囲で調整したとき、負荷で消費される電力の最大値は何 $\mathrm{W}$ か。分数で答えよ。

節点 $\mathrm{S}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{G}$ と端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ をもつ直流回路を考える。端子 $\mathrm{b}$ は節点 $\mathrm{G}$ と導線でつながっている。素子は次のようにつながれている。

• 起電力 $E=30\mathrm{V}$ の理想電圧源（内部抵抗なし）: 正極を $\mathrm{S}$、負極を $\mathrm{G}$ につなぐ
• 抵抗 $R_1=6\Omega$: $\mathrm{S}$ と $\mathrm{A}$ の間
• 抵抗 $R_2=3\Omega$: $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間
• 電流 $J=2\mathrm{A}$ の理想電流源（内部コンダクタンスなし）: $\mathrm{A}$ と $\mathrm{G}$ の間につなぎ、電流源の内部を $\mathrm{G}$ から $\mathrm{A}$ の向きに電流 $J$ を流す
• 抵抗 $R_3=2\Omega$: $\mathrm{A}$ と端子 $\mathrm{a}$ の間

端子 $\mathrm{a}$, $\mathrm{b}$ の間に抵抗値を自由に変えられる負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を調整したとき、$R_L$ で消費される電力の最大値は何 W か。分数で正確に答えよ。導線の抵抗は無視する。

節点 $\mathrm{N}$, $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$ をもつ次の交流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{N}$ と $\mathrm{X}$ の間に、内部インピーダンスの無視できる正弦波交流電源をつなぐ。電源電圧の実効値は $V=2\mathrm{V}$ で一定であり、角周波数 $\omega$ は自由に変えられる。
• 節点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ の間に、抵抗値 $R=10\Omega$ の抵抗をつなぐ。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{Z}$ の間に、自己インダクタンス $L=20\mathrm{mH}$ のコイルをつなぐ。コイルの巻線抵抗は無視する。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{N}$ の間に、静電容量 $C=0.5\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐ。

この回路は直列 RLC 回路である。電源の角周波数 $\omega$ を回路の共振角周波数に合わせ、回路が定常状態になったとき、コンデンサーの両端の電圧の実効値は何 V か。整数で求めよ。

節点 $\mathrm{U}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{O}$ と出力端子 $\mathrm{T}$ をもつ次の直流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{U}$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $18\mathrm{V}$ の電圧源（$\mathrm{U}$ の側が正極）
• 節点 $\mathrm{U}$ と $\mathrm{M}$ の間に $6\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{O}$ の間に $3\Omega$ の抵抗
• 節点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{M}$ の間に、$\mathrm{O}$ から $\mathrm{M}$ の向きに $2\mathrm{A}$ の電流を流す理想的な電流源
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $\mathrm{T}$ の間に $2\Omega$ の抵抗

端子 $\mathrm{T}$ と節点 $\mathrm{O}$ の間に負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を正の範囲で変えるとき、$R_L$ で消費される電力が最大になる $R_L$ の値 [$\Omega$] と、そのときの電力 [W] を求め、組 $(R_L,P_{\max })$ としてこの順に答えよ。数値は整数または既約分数で答えること。

4 つの節点 $\mathrm{O}$, $\mathrm{X}$, $\mathrm{Y}$, $\mathrm{Z}$ をもつ次の直流回路を考える。

• 節点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{X}$ の間に、内部抵抗の無視できる起電力 $12\mathrm{V}$ の理想電圧源がある。$\mathrm{X}$ の側が正極である。
• 節点 $\mathrm{X}$ と $\mathrm{Y}$ の間に、抵抗 $2\Omega$ がある。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{O}$ の間に、抵抗 $2\Omega$ がある。
• 節点 $\mathrm{Y}$ と $\mathrm{Z}$ の間に、抵抗 $1\Omega$ がある。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{O}$ の間に、抵抗 $5\Omega$ がある。
• 節点 $\mathrm{Z}$ と $\mathrm{O}$ の間に、抵抗 $5\Omega$ と並列に、大きさ $4\mathrm{A}$ の理想電流源がある。電流源の内部を電流は $\mathrm{O}$ から $\mathrm{Z}$ の向きに流れる（電流源は節点 $\mathrm{Z}$ に $4\mathrm{A}$ の電流を流し込む）。

導線の抵抗は無視できる。このとき、$12\mathrm{V}$ の電圧源が回路に供給する電力は何 $\mathrm{W}$ か。電圧源が電力を消費する場合は負の値で答えよ。