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電気回路の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電気回路

4 つの節点 $A$ , $P$ , $Q$ , $G$ をもつ直流回路を考える。起電力 $E = 24 V$ 、内部抵抗 $r = 1 Ω$ の電池が、正極を $A$ 側、負極を $G$ 側にして $A$ - $G$ 間に接続されている（内部抵抗は起電力と直列とみなす）。さらに、 $A$ - $P$ 間に $R_{1} = 2 Ω$ 、 $P$ - $G$ 間に $R_{2} = 4 Ω$ 、 $A$ - $Q$ 間に $R_{3} = 4 Ω$ 、 $Q$ - $G$ 間に $R_{4} = 2 Ω$ の抵抗が接続されている。

$P$ - $Q$ 間に抵抗値 $R_{L}$ の負荷抵抗をつなぐ。 $R_{L} > 0$ を変化させたとき、負荷抵抗で消費される電力が最大になる $R_{L}$ の値（単位 $Ω$ ）と、そのときの消費電力の最大値（単位 $W$ ）を、この順に組 $(R_{L}, P_{m a x})$ で、分数を用いた正確な値で求めよ。導線の抵抗は無視する。

A

P

Q

G

r

E

R_{1}

R_{2}

R_{3}

R_{4}

R_{L}

この問題で使うもの

最大電力供給の定理（説明と入口の問題）
テブナンの定理とノートンの定理（説明と入口の問題）
節点解析（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

負荷 $R_{L}$ を取り除いた回路を、 $P$ - $Q$ 端子から見たテブナン等価回路（ $V_{th}$ と $R_{th}$ ）に置き換え、最大電力供給の条件 $R_{L} = R_{th}$ を使う。

ヒント 2

開放電圧は、電池の電流と分圧から求められる。 $R_{th}$ は起電力を短絡すると内部抵抗 $r$ が $A$ - $G$ 間に残るので、単純な直並列にならない。 $P$ に $1 A$ を流し込み $Q$ から取り出す節点解析（または Y- $Δ$ 変換）を使う。

ヒント 3

開放時は $V_{A} = 18 V$ 、 $V_{P} = 12 V$ 、 $V_{Q} = 6 V$ となる。 $R_{th}$ の節点解析では $V_{A} = \frac{1}{4}$ が得られる。

答えと解説

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(\frac{11}{4}, \frac{36}{11})

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解説を読む

負荷から見た回路（ $R_{L}$ を除いた部分）は線形なので、テブナンの定理により、起電力 $V_{th}$ と内部抵抗 $R_{th}$ の直列回路に置き換えられる。このとき負荷の電力
$P = \frac{V _{th}^{2} R _{L}}{( R _{th} + R _{L} ) ^{2}}$
は $R_{L} = R_{th}$ で最大値 $\frac{V _{th}^{2}}{4 R _{th}}$ をとる（最大電力供給の定理）。

$V_{th}$ （開放電圧） $P$ - $Q$ 間を開放すると、 $A$ - $G$ 間は $R_{1} + R_{2} = 6 Ω$ と $R_{3} + R_{4} = 6 Ω$ の並列で $3 Ω$ 。電池の電流は $I = \frac{24}{1 + 3} = 6 A$ 、 $G$ を電位の基準とすると $V_{A} = 6 \times 3 = 18 V$ 。分圧より
$V_{P} = 18 \times \frac{4}{6} = 12 V, V_{Q} = 18 \times \frac{2}{6} = 6 V$
なので $V_{th} = V_{P} - V_{Q} = 6 V$ 。

$R_{th}$ 起電力を短絡すると、 $A$ - $G$ 間に $r = 1 Ω$ が残る。この回路に $P$ から $1 A$ を流し込み $Q$ から取り出したときの $V_{P} - V_{Q}$ を求める（ $V_{G} = 0$ ）。節点方程式は
$P : \frac{V _{P} - V _{A}}{2} + \frac{V _{P}}{4} = 1, Q : \frac{V _{Q} - V _{A}}{4} + \frac{V _{Q}}{2} = - 1,$
$A : \frac{V _{A} - V _{P}}{2} + \frac{V _{A} - V _{Q}}{4} + \frac{V _{A}}{1} = 0.$
第 1 式・第 2 式より $V_{P} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} V_{A}$ 、 $V_{Q} = - \frac{4}{3} + \frac{1}{3} V_{A}$ 。第 3 式に代入すると
$\frac{7}{4} V_{A} - (\frac{2}{3} + \frac{1}{3} V_{A}) - (- \frac{1}{3} + \frac{1}{12} V_{A}) = 0 ⟹ \frac{4}{3} V_{A} = \frac{1}{3} ⟹ V_{A} = \frac{1}{4} .$
よって $V_{P} = \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{2}$ 、 $V_{Q} = - \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = - \frac{5}{4}$ で、
$R_{th} = \frac{V _{P} - V _{Q}}{1} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{11}{4} Ω.$
（ $r = 0$ なら $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ 、 $r \to \infty$ なら $6 ∥ 6 = 3$ で、その間の値になっていることも確かめられる。）

最大電力 $R_{L} = R_{th} = \frac{11}{4} Ω$ のとき
$P_{m a x} = \frac{V _{th}^{2}}{4 R _{th}} = \frac{36}{4 \cdot \frac{11}{4}} = \frac{36}{11} W .$
したがって $(R_{L}, P_{m a x}) = (\frac{11}{4}, \frac{36}{11})$ 。

別解

$P$ - $Q$ 間から見た回路をテブナンの定理で等価電源に置き換える。

(1) 開放電圧（ $R_{L}$ を外した状態）
$A$ - $P$ - $G$ の経路は $2 + 4 = 6 Ω$ 、 $A$ - $Q$ - $G$ の経路も $4 + 2 = 6 Ω$ で、並列合成は $3 Ω$ 。内部抵抗を含む全抵抗は $1 + 3 = 4 Ω$ なので電池を流れる電流は $24/4 = 6 A$ 。
$V_{A} = 24 - 1 \times 6 = 18 V$ （ $G$ を 0 V とする）。
$V_{P} = 18 \times \frac{4}{2 + 4} = 12 V$ 、 $V_{Q} = 18 \times \frac{2}{4 + 2} = 6 V$ 。
$V_{th} = V_{P} - V_{Q} = 6 V$ 。

(2) 内部抵抗（電池の起電力を短絡、内部抵抗 $r$ は残す）
$A$ - $G$ 間に $r = 1 Ω$ がある。 $P$ から $1 A$ を流し込み $Q$ から取り出すとして節点電位法を使う（ $V_{G} = 0$ ）。
$P$ : $\frac{V _{P} - V _{A}}{2} + \frac{V _{P}}{4} = 1 \Rightarrow 3 V_{P} - 2 V_{A} = 4$
$Q$ : $\frac{V _{Q} - V _{A}}{4} + \frac{V _{Q}}{2} = - 1 \Rightarrow 3 V_{Q} - V_{A} = - 4$
$A$ : $\frac{V _{A} - V _{P}}{2} + \frac{V _{A} - V _{Q}}{4} + \frac{V _{A}}{1} = 0 \Rightarrow 7 V_{A} - 2 V_{P} - V_{Q} = 0$
$V_{P} = \frac{4 + 2 V _{A}}{3}$ , $V_{Q} = \frac{V _{A} - 4}{3}$ を代入して $16 V_{A} = 4$ 、 $V_{A} = \frac{1}{4} V$ 。
$V_{P} = \frac{3}{2}$ 、 $V_{Q} = - \frac{5}{4}$ 。
$R_{th} = V_{P} - V_{Q} = \frac{11}{4} Ω$ 。

(3) 最大電力
負荷の電力 $P = \frac{V _{th}^{2} R _{L}}{( R _{th} + R _{L} ) ^{2}}$ は $R_{L} = R_{th}$ で最大（相加相乗平均、 $R_{L} + R_{th}^{2} / R_{L} \geq 2 R_{th}$ ）。
$R_{L} = \frac{11}{4} Ω$ 、 $P_{m a x} = \frac{V _{th}^{2}}{4 R _{th}} = \frac{36}{11} W$ 。

検算： $R_{L} = 11/4$ のとき $I_{L} = 6/ (11/2) = 12/11 A$ 、 $P = I_{L}^{2} R_{L} = \frac{144}{121} \cdot \frac{11}{4} = \frac{36}{11} W$ 。一致する。

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