電気回路の問題

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$（$\pi$ 形回路）を、次のように 3 つの抵抗で作る。端子 $1^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ は導線で直接つながれている。

• 端子 $1$ と端子 $1^{\prime }$ の間に、抵抗値 $10\Omega$ の抵抗
• 端子 $1$ と端子 $2$ の間に、抵抗値 $5\Omega$ の抵抗
• 端子 $2$ と端子 $2^{\prime }$ の間に、抵抗値 $20\Omega$ の抵抗

端子 $1$ の端子 $1^{\prime }$ に対する電圧を $V_1$、端子 $1$ から回路に流れこむ電流を $I_1$、端子 $2$ の端子 $2^{\prime }$ に対する電圧を $V_2$、端子 $2$ から回路の外へ流れ出る電流を $I_2$ とする。この回路の F パラメータ（縦続行列の要素）$A$, $B$, $C$, $D$ を
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。SI 単位系（$B$ は $\Omega$、$C$ は $\mathrm{S}$ を単位とする）で、組 $(A,B,C,D)$ を正確な値（分数）で求めよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を、内部の節点 $\mathrm{a}$, ${\mathrm{a}}^{\prime }$ を使って次のように作る。

• 端子 $1$ と節点 $\mathrm{a}$ の間に抵抗 $2\Omega$
• 節点 $\mathrm{a}$ と節点 ${\mathrm{a}}^{\prime }$ の間に抵抗 $6\Omega$
• 端子 $1^{\prime }$ と節点 ${\mathrm{a}}^{\prime }$ は導線で直接つながれている
• 節点 $\mathrm{a}$-${\mathrm{a}}^{\prime }$ を一次側、端子 $2$-$2^{\prime }$ を二次側とする巻数比 $1:2$ の理想変成器。一次側の電圧 $V_{\mathrm{a}}=V_{\mathrm{a}{\mathrm{a}}^{\prime }}$（${\mathrm{a}}^{\prime }$ に対する $\mathrm{a}$ の電位）と二次側の電圧 $V_2$（$2^{\prime }$ に対する $2$ の電位）は $V_2=2V_{\mathrm{a}}$ を満たし、節点 $\mathrm{a}$ から一次側に流れ込む電流 $I_{\mathrm{a}}$ と端子 $2$ から外へ流れ出す電流 $I_2$ は $I_{\mathrm{a}}=2I_2$ を満たす

F パラメータ（縦続行列）は、入力端子の電圧 $V_1$、端子 $1$ に流れ込む電流 $I_1$、出力端子の電圧 $V_2$、端子 $2$ から流れ出す電流 $I_2$ を用いて
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。

いま、端子対 $1$-$1^{\prime }$ に起電力 $E=12\mathrm{V}$、内部抵抗 $r=4\Omega$ の直流電源をつなぎ（端子 $1$ 側が正極）、端子対 $2$-$2^{\prime }$ に負荷抵抗 $R_L$ をつなぐ。$R_L$ を変えたとき、$R_L$ で消費される電力が最大になる $R_L$ の値（単位 $\Omega$）と、そのときの消費電力（単位 $\mathrm{W}$）を、この順に組で答えよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$（橋絡 T 形回路）を、次のように 4 つの抵抗で作る。端子 $1^{\prime }$ と端子 $2^{\prime }$ は導線で直接つながれている。内部の節点を $\mathrm{M}$ とする。

• 端子 $1$ と節点 $\mathrm{M}$ の間に抵抗 $R_1=2\Omega$
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $2$ の間に抵抗 $R_2=2\Omega$
• 節点 $\mathrm{M}$ と端子 $1^{\prime }$（$=2^{\prime }$）の間に抵抗 $R_3=1\Omega$
• 端子 $1$ と端子 $2$ の間に抵抗 $R_4=4\Omega$

入力側には、起電力 $E=12\mathrm{V}$、内部抵抗 $r=1\Omega$ の直流電源を、正極が端子 $1$ 側になるようにつなぐ（電源と $r$ は直列で、端子 $1$ と $1^{\prime }$ の間に入る）。出力側には、端子 $2$ と $2^{\prime }$ の間に負荷抵抗 $R_L=2\Omega$ をつなぐ。導線の抵抗は無視できるものとする。

$\mathrm{N}$ の Z パラメータ（端子電流はいずれも端子 $1$, $2$ から回路 $\mathrm{N}$ に流れ込む向きを正とする）を用いて、負荷抵抗 $R_L$ で消費される電力（単位は $\mathrm{W}$）を既約分数で求めよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を次のように作る。内部の節点を $\mathrm{M}$ とし、端子 $1$ と $\mathrm{M}$ の間に $4\Omega$ の抵抗、$\mathrm{M}$ と端子 $2$ の間に $2\Omega$ の抵抗、$\mathrm{M}$ と共通線の間に $4\Omega$ の抵抗をつなぐ。端子 $1^{\prime }$ と $2^{\prime }$ は共通線で直接つながっている（T 形回路）。

この回路 $\mathrm{N}$ を 2 つ用意し、1 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $2$-$2^{\prime }$ を 2 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $1$-$1^{\prime }$ にそのままつないで縦続接続する。縦続接続した回路の出力側（2 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $2$-$2^{\prime }$）に $4\Omega$ の負荷抵抗をつなぎ、入力側（1 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $1$-$1^{\prime }$）に直流電圧 $V_1$ を加えたところ、負荷抵抗の両端の電圧は $V_2$ になった。電圧の向きはいずれも端子 $1^{\prime }$, $2^{\prime }$ に対する端子 $1$, $2$ の電位とする。

$\mathrm{N}$ の Z パラメータと F パラメータ（縦続行列）を用いて、電圧比 $\frac{V_2}{V_1}$ を既約分数で求めよ。抵抗は理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

次の 2 つの二端子対回路 N${}_1$, N${}_2$ を、この順に縦続接続した回路を考える。

• N${}_1$: 入力側の上の端子と出力側の上の端子の間に抵抗 $R_1=2\Omega$ を直列に入れ、下の端子どうしは導線でつないだ回路
• N${}_2$: 上の端子どうし・下の端子どうしをそれぞれ導線でつなぎ、上の線と下の線の間に抵抗 $R_2=4\Omega$ を並列に入れた回路

縦続接続した回路全体の入力端子対を 1-1'、出力端子対を 2-2' とする。端子 1 の 1' に対する電圧を $V_1$、端子 1 から回路に流れこむ電流を $I_1$、端子 2 の 2' に対する電圧を $V_2$、端子 2 から回路の外へ流れ出る電流を $I_2$ とし、F パラメータを
$$V_1=A{V}_2+B{I}_2,I_1=C{V}_2+D{I}_2$$
で定める。回路全体の F パラメータを求め、組 $(A,B,C,D)$ の形で答えよ（$B$ の単位は $\Omega$、$C$ の単位は S とする）。