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電流と回路の問題

難易度 3共通テストレベル高校物理電流と回路

起電力 $E$ 、内部抵抗 $r$ の電池がある。抵抗値 $2 r$ の抵抗 $P$ と、抵抗値 $R$ を自由に変えられる可変抵抗 $Q$ を並列に接続し、この並列部分の両端を電池の正極と負極につないだ。

$R$ をいろいろに変えたとき、可変抵抗 $Q$ で消費される電力の最大値を、 $E$ , $r$ を用いて表せ。ただし、導線の抵抗は無視でき、抵抗 $P$ の抵抗値と電池の起電力・内部抵抗は一定とする。

E

r

電池

P (2 r)

Q (R)

この問題で使うもの

消費電力の最大（説明と入口の問題）
オームの法則と合成抵抗（説明と入口の問題）
電力とジュール熱（説明と入口の問題）
電池の起電力と内部抵抗（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

まず並列部分の合成抵抗から、並列部分（Q の両端）の電圧 $V$ を $R$ の式で表す。消費電力は $\frac{V ^{2}}{R}$ 。

ヒント 2

$V = \frac{2 R E}{2 r + 3 R}$ となるので $P = \frac{4 E ^{2} R}{( 2 r + 3 R ) ^{2}}$ 。分母を $R$ で割った式の最小値を考える。

ヒント 3

$\frac{( 2 r + 3 R ) ^{2}}{R} = \frac{4 r ^{2}}{R} + 9 R + 12 r$ と変形し、相加平均と相乗平均の関係を使う。

答えと解説

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\frac{E ^{2}}{6 r}

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解説を読む

並列部分の電圧を求める

抵抗 P（ $2 r$ ）と可変抵抗 Q（ $R$ ）の合成抵抗は
$R_{p} = \frac{2 r \cdot R}{2 r + R}$
である。回路全体の抵抗は $r + R_{p}$ なので、電池を流れる電流は $I = \frac{E}{r + R _{p}}$ 、並列部分の両端の電圧は
$V = I R_{p} = \frac{E R _{p}}{r + R _{p}} = \frac{E \cdot \frac{2 r R}{2 r + R}}{r + \frac{2 r R}{2 r + R}} = \frac{2 r R E}{r ( 2 r + R ) + 2 r R} = \frac{2 R E}{2 r + 3 R}$
となる。

Q の消費電力

Q には電圧 $V$ がかかるので、その消費電力は
$P = \frac{V ^{2}}{R} = \frac{4 E ^{2} R}{( 2 r + 3 R ) ^{2}}$
である。

最大値を求める

$\frac{( 2 r + 3 R ) ^{2}}{R} = \frac{4 r ^{2} + 12 r R + 9 R ^{2}}{R} = \frac{4 r ^{2}}{R} + 9 R + 12 r$
ここで $\frac{4 r ^{2}}{R} > 0$ 、 $9 R > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係より
$\frac{4 r ^{2}}{R} + 9 R \geq 2 \frac{4 r ^{2}}{R} \cdot 9 R = 12 r$
等号は $\frac{4 r ^{2}}{R} = 9 R$ 、すなわち $R = \frac{2}{3} r$ のときに成り立つ。よって $\frac{( 2 r + 3 R ) ^{2}}{R}$ の最小値は $24 r$ であり、
$P \leq \frac{4 E ^{2}}{24 r} = \frac{E ^{2}}{6 r}$

したがって、Q の消費電力の最大値は $\frac{E ^{2}}{6 r}$ （ $R = \frac{2}{3} r$ のとき）である。

（確認： $R = \frac{2}{3} r$ のとき $V = \frac{2 \cdot \frac{2}{3} r E}{2 r + 2 r} = \frac{E}{3}$ 、 $P = \frac{( E /3 ) ^{2}}{\frac{2}{3} r} = \frac{E ^{2}}{6 r}$ 。）

別解

可変抵抗 Q を除いた回路（電池と P）を等価な電源に置き換える（テブナンの定理）。Q を外したとき、電池と P は直列回路になり、電流は $I_{0} = \frac{E}{r + 2 r} = \frac{E}{3 r}$ 。Q の端子電圧（開放電圧）は P の両端電圧で $V_{0} = 2 r \cdot \frac{E}{3 r} = \frac{2 E}{3}$ 。電源内部抵抗は、電池の内部抵抗 $r$ と P の $2 r$ の並列合成で $r_{0} = \frac{r \cdot 2 r}{r + 2 r} = \frac{2 r}{3}$ 。\n\nよって Q には起電力 $\frac{2 E}{3}$ 、内部抵抗 $\frac{2 r}{3}$ の電源がつながったことになり、Q に流れる電流は $I = \frac{V _{0}}{r _{0} + R}$ 。Q の消費電力は\n $P_{Q} = I^{2} R = \frac{V _{0}^{2} R}{( r _{0} + R ) ^{2}} = \frac{V _{0}^{2}}{( R + \frac{r _{0}}{R} ) ^{2}} .$ \n相加・相乗平均より $R + \frac{r _{0}}{R} \geq 2 r_{0}$ 、等号は $R = r_{0} = \frac{2 r}{3}$ 。このとき\n $P_{Q, m a x} = \frac{V _{0}^{2}}{4 r _{0}} = \frac{( 2 E /3 ) ^{2}}{4 \cdot 2 r /3} = \frac{4 E ^{2} /9}{8 r /3} = \frac{E ^{2}}{6 r} .$ \n\n検算: $R = \frac{2 r}{3}$ のとき、並列部の合成抵抗は $\frac{2 r}{3} \cdot 2 r / (\frac{2 r}{3} + 2 r) = \frac{4 r ^{2} /3}{8 r /3} = \frac{r}{2}$ 。全電流 $= \frac{E}{r + r /2} = \frac{2 E}{3 r}$ 、並列部の電圧 $= \frac{r}{2} \cdot \frac{2 E}{3 r} = \frac{E}{3}$ 。Q の電力 $= \frac{( E /3 ) ^{2}}{2 r /3} = \frac{E ^{2}}{9} \cdot \frac{3}{2 r} = \frac{E ^{2}}{6 r}$ ✓。

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