電流と回路の問題

手順 1: 消費電力を $R$ の式で表す。

回路全体の抵抗は可変抵抗と内部抵抗の直列なので $R+0.30[\Omega ]$ です。オームの法則より、回路を流れる電流は
$$I=\frac{1.5}{R+0.30}$$
です。可変抵抗の消費電力 $P[\mathrm{W}]$ は $P=R{I}^2$ より
$$P=\frac{1.5^{2}R}{(R+0.30{)}^2}=\frac{2.25R}{(R+0.30{)}^2}$$
となります。

手順 2: 判別式で $P$ の最大値を求める。

分母を払って $R$ について整理すると
$$P(R+0.30{)}^2=2.25R$$
$$P{R}^2+(0.60P-2.25)R+0.09P=0$$
これを $R$ の 2 次方程式とみます（$P>0$）。ある $P$ の値が実際に起こるのは、この方程式が実数解 $R$ をもつときなので、判別式 $D\geqq 0$ です。
$$D=(0.60P-2.25{)}^2-4\cdot P\cdot 0.09P=0.36P^2-2.7P+5.0625-0.36P^2=5.0625-2.7P$$
$D\geqq 0$ より $P\leqq \frac{5.0625}{2.7}=1.875$。よって $P$ の最大値は $1.875\mathrm{W}$ です。

手順 3: 最大になるときの $R$ を求める。

$P=1.875$ のとき $D=0$ で重解になり、その重解は
$$R=-\frac{0.60P-2.25}{2P}=\frac{2.25-1.125}{3.75}=0.30[\Omega ]$$
です。これは正なので条件に合い、$R$ が内部抵抗と等しい（$R=r$）ときに消費電力が最大になることがわかります。

手順 4: 電流を求める。
$$I=\frac{1.5}{0.30+0.30}=\frac{1.5}{0.60}=2.5[\mathrm{A}]$$

（確認: $R{I}^2=0.30\times 2.5^2=1.875\mathrm{W}$ で最大値と一致します。）

答え: $2.5\mathrm{A}$

電池の起電力を $E=1.5\mathrm{V}$、内部抵抗を $r=0.30\Omega$ とする。回路を流れる電流は $I=\frac{E}{R+r}$ である。

可変抵抗の消費電力は
$P=I^{2}R=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}=\frac{E^2}{R+2r+\frac{r^2}{R}}$

分母の $R+\frac{r^2}{R}$ に相加平均・相乗平均の関係を使うと $R+\frac{r^2}{R}\ge 2r$ となる。等号は $R=\frac{r^2}{R}$、すなわち $R=r=0.30\Omega$ のとき成り立つ。このとき $P$ は最大となり、$P_{max}=\frac{E^2}{4r}$ である。

このときの電流は
$I=\frac{E}{R+r}=\frac{1.5}{0.30+0.30}=\frac{1.5}{0.60}=2.5\mathrm{A}$

検算：$R=0.30$ のとき $P=2.5^2\times 0.30=1.875\mathrm{W}$ である。$\frac{E^2}{4r}=\frac{2.25}{1.2}=1.875\mathrm{W}$ で一致する。
また、$R=0.20$ のとき $I=3.0\mathrm{A}$ で $P=9\times 0.20=1.8\mathrm{W}$ となり、$R=0.50$ のとき $I=1.875\mathrm{A}$ で $P\approx 1.76\mathrm{W}$ となる。どちらも $1.875\mathrm{W}$ より小さく、$R=0.30\Omega$ で最大となることと矛盾しない。

答え：$2.5\mathrm{A}$