変圧器の効率と最大効率

負荷率 $α$ のときの効率 $η = \frac{α S cos ϕ}{α S cos ϕ + P _{i} + α ^{2} P _{c}}$ を求め、鉄損と銅損が等しくなる条件から最大効率を求められる

前提

変圧器の等価回路と試験（大学物理電力・電気機器）
交流の電力・力率と可変抵抗の最大電力（高校物理電磁気と交流）
区間での最大・最小（数学II 微分法と積分法）

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説明

変圧器の効率は、出力を「出力＋損失」で割った値で、損失には負荷によらない鉄損 $P_{i}$ と、負荷電流の 2 乗に比例する銅損があります。この技能では、定格容量 $S$ に対してどれだけの割合で使っているか（負荷率 $α$ ）を使って効率 $η = \frac{α S cos ϕ}{α S cos ϕ + P _{i} + α ^{2} P _{c}}$ を求め、効率が最大になる負荷率と最大効率を求めます。配電用変圧器を、実際によく使う負荷の大きさで効率よく運転できるように選ぶときに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

負荷率 $α$ とは、実際の負荷の皮相電力（電圧と電流の実効値の積）を定格容量 $S$ ［V·A］で割った比です。二次電圧を定格値に保つとすると、負荷電流は定格電流の $α$ 倍で、出力（有効電力）は $α S cos ϕ$ です（ $cos ϕ$ は負荷の力率）。損失のうち鉄損 $P_{i}$ は鉄心の磁束、つまり電圧だけで決まるので負荷率によらず一定です。銅損は巻線抵抗 $r$ で $r I^{2}$ なので電流の 2 乗に比例し、定格電流での銅損を $P_{c}$ とすれば $α^{2} P_{c}$ です。入力は出力と損失の和なので
$η = \frac{α S cos ϕ}{α S cos ϕ + P _{i} + α ^{2} P _{c}}$
となります。

分子と分母を $α$ で割ると
$η = \frac{S cos ϕ}{S cos ϕ + ( \frac{P _{i}}{α} + α P _{c} )}$
です。 $S cos ϕ$ は一定なので、 $η$ が最大になるのは $f (α) = \frac{P _{i}}{α} + α P_{c}$ （ $α > 0$ ）が最小になるときです。微分すると $f^{'} (α) = - \frac{P _{i}}{α ^{2}} + P_{c}$ で、 $f^{'} (α) = 0$ となるのは $α_{m} = \frac{P _{i}}{P _{c}}$ のとき。 $0 < α < α_{m}$ で $f^{'} < 0$ 、 $α > α_{m}$ で $f^{'} > 0$ なので、ここで $f$ は最小、 $η$ は最大になります。この条件は $α_{m}^{2} P_{c} = P_{i}$ 、つまり「そのときの銅損が鉄損に等しい」ことを意味します。

直観的には、負荷が軽いと出力に比べて一定の鉄損の割合が大きく、負荷が重いと電流の 2 乗で増える銅損の割合が大きくなるので、その中間で 2 つの損失がつり合うところが最も効率がよい、ということです。なお最大効率の負荷率は力率によらず、力率は最大効率の値だけに影響します（力率が 1 のときに最も高い）。

手順

定格容量 $S$ 、鉄損 $P_{i}$ 、定格負荷時の銅損 $P_{c}$ 、負荷の力率 $cos ϕ$ を確かめる（ $P_{i}$ は無負荷試験、 $P_{c}$ は短絡試験の値）。
負荷率 $α$ のときの出力 $α S cos ϕ$ と損失 $P_{i} + α^{2} P_{c}$ を求め、 $η = \frac{α S cos ϕ}{α S cos ϕ + P _{i} + α ^{2} P _{c}}$ を計算する。
最大効率を求めるときは、銅損 $=$ 鉄損の条件 $α^{2} P_{c} = P_{i}$ から $α_{m} = \frac{P _{i}}{P _{c}}$ を求める。
$α = α_{m}$ を効率の式に入れる（このとき損失は $2 P_{i}$ ）： $η_{m a x} = \frac{α _{m} S cos ϕ}{α _{m} S cos ϕ + 2 P _{i}}$ 。

例題

定格容量 $100 kV \cdot A$ の単相変圧器があり、鉄損は $500 W$ 、定格負荷時の銅損は $2000 W$ である。力率 $1$ の負荷に電力を供給し、二次電圧は定格値に保たれるとする。この変圧器の最大効率を分数で求めよ。

例題の解答

手順 1： $S = 100 \times 1 0^{3} V \cdot A$ 、 $P_{i} = 500 W$ 、 $P_{c} = 2000 W$ 、 $cos ϕ = 1$ 。

手順 3：銅損 $=$ 鉄損となる負荷率は
$α_{m} = \frac{P _{i}}{P _{c}} = \frac{500}{2000} = \frac{1}{2}$

手順 4：このとき出力は $\frac{1}{2} \times 100 \times 1 0^{3} \times 1 = 50000 W$ 、損失は鉄損 $500 W$ と銅損 $(\frac{1}{2})^{2} \times 2000 = 500 W$ の和で $1000 W$ 。よって
$η_{m a x} = \frac{50 000}{50 000 + 1000} = \frac{50}{51} (\approx 98.0 %)$

答え: $\frac{50}{51}$

よくある誤り

銅損を負荷率に比例させて $α P_{c}$ としてしまう誤り。銅損は電流の 2 乗に比例するので、正しくは $α^{2} P_{c}$ （例題で $α = \frac{1}{2}$ なら $1000 W$ ではなく $500 W$ ）。
鉄損も負荷率とともに変わるとして $α P_{i}$ や $α^{2} P_{i}$ としてしまう誤り。鉄損は電圧で決まり負荷によらないので、正しくは負荷率にかかわらず $P_{i}$ のまま。
最大効率の条件を「定格負荷時の銅損 $P_{c}$ と鉄損が等しいとき」と取り違え、定格負荷（ $α = 1$ ）で最大効率になるとしてしまう誤り。等しくすべきなのはそのときの銅損 $α^{2} P_{c}$ で、正しくは $α_{m} = \frac{P _{i}}{P _{c}}$ （例題なら $α_{m} = \frac{1}{2}$ 。定格負荷での効率は $\frac{100 000}{102 500} = \frac{40}{41}$ で最大効率 $\frac{50}{51}$ より低い）。
出力に力率を掛け忘れて $α S$ を出力としてしまう誤り。 $S$ は皮相電力［V·A］なので、有効電力の出力は正しくは $α S cos ϕ$ ［W］。例えば力率 $0.8$ なら例題の最大効率は $\frac{40 000}{41 000} = \frac{40}{41}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
定格容量 $S = 50 kVA$ の単相変圧器がある。鉄損は $P_{i} = 250 W$ 、定格負荷のときの銅損は $P_{c} = 1000 W$ である。この変圧器を力率 $1$ の負荷で運転し、負荷の大きさ（負荷率）だけを変えるとき、効率の最大値を求めよ。答えは既約分数で答えよ。ただし、鉄損は負荷の大きさによらず一定、銅損は負荷率の 2 乗に比例し、二次電圧は定格値に保たれるものとする。

変圧器の効率と最大効率

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題