変圧器の巻数比とインピーダンスの換算

理想変圧器で $V_{1} / V_{2} = N_{1} / N_{2} = I_{2} / I_{1}$ を使い、二次側のインピーダンスや抵抗を一次側へ $a^{2}$ 倍（ $a = N_{1} / N_{2}$ ）して換算できる

前提

変圧器（高校物理電磁気と交流（知識））

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算数中学高校大学大学院

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変圧器（高校物理電磁気と交流（知識））

説明

理想変圧器の一次側（電源側）から見ると、二次側につないだ抵抗やインピーダンスは、実際の値の $a^{2}$ 倍（ $a = N_{1} / N_{2}$ は巻数比）の大きさに見えます。この技能を使うと、変圧器をはさんだ回路を「一次側だけの回路」に描き直して、一次電流や電力を簡単に計算できます。スピーカーとアンプの整合（インピーダンス整合）や、変圧器を含む送配電回路の計算でよく使います。

なぜそうしてよいのか

理想変圧器では、電圧は巻数に比例し $\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{N _{1}}{N _{2}} = a$ 、電力は失われないので $V_{1} I_{1} = V_{2} I_{2}$ です。後者から $\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{1}{a}$ 、つまり電流は巻数に反比例し $\frac{I _{2}}{I _{1}} = a$ となります。電圧を $a$ 倍に上げる側では電流が $\frac{1}{a}$ 倍になる、ということです（ $V, I$ は実効値）。

二次側に抵抗 $R_{2}$ をつなぐと、オームの法則で $V_{2} = R_{2} I_{2}$ です。一次側から見た「電圧と電流の比」を計算すると
$\frac{V _{1}}{I _{1}} = \frac{a V _{2}}{I _{2} / a} = a^{2} \frac{V _{2}}{I _{2}} = a^{2} R_{2}$
となります。電圧が $a$ 倍、電流が $\frac{1}{a}$ 倍になるので、その比は $a \times a = a^{2}$ 倍になるわけです。したがって一次側の電源からは、変圧器と $R_{2}$ をまとめて抵抗 $R_{1}^{'} = a^{2} R_{2}$ が 1 つつながっているのと同じに見えます。コイルやコンデンサーを含む交流のインピーダンス $Z_{2}$ （電圧と電流の実効値の比）でも同じ理由で $Z_{1}^{'} = a^{2} Z_{2}$ です。

逆に一次側の抵抗を二次側から見るときは $\frac{1}{a ^{2}}$ 倍になります。電力で確かめると、一次側で換算した抵抗で消費される電力 $I_{1}^{2} (a^{2} R_{2}) = (a I_{1})^{2} R_{2} = I_{2}^{2} R_{2}$ は、二次側の抵抗で実際に消費される電力と一致しており、換算しても電力が変わらないことがわかります。

手順

巻数比 $a = \frac{N _{1}}{N _{2}}$ （または電圧比 $a = \frac{V _{1}}{V _{2}}$ ）を求める。どちらが一次側（換算先）かを確認する。
二次側のインピーダンス（抵抗） $Z_{2}$ を一次側へ換算する： $Z_{1}^{'} = a^{2} Z_{2}$ 。逆向き（一次側を二次側へ）なら $\frac{Z _{1}}{a ^{2}}$ 。
換算した回路で一次側の量を求める（例： $I_{1} = \frac{V _{1}}{Z _{1}^{'}}$ ）。
必要なら二次側の量に戻す： $V_{2} = \frac{V _{1}}{a}$ 、 $I_{2} = a I_{1}$ 。

例題

一次巻線の巻数 $N_{1} = 500$ 、二次巻線の巻数 $N_{2} = 100$ の理想変圧器の二次側に、 $8 Ω$ の抵抗をつないだ。一次側から見た等価な抵抗 [ $Ω$ ] を求めよ。

例題の解答

手順 1：巻数比は $a = \frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{500}{100} = 5$ 。一次側へ換算する。

手順 2：二次側の抵抗 $R_{2} = 8 Ω$ を一次側へ換算すると
$R_{1}^{'} = a^{2} R_{2} = 5^{2} \times 8 = 200 Ω$

（確認：一次側に $100 V$ を加えると $V_{2} = \frac{100}{5} = 20 V$ 、 $I_{2} = \frac{20}{8} = 2.5 A$ 、 $I_{1} = \frac{I _{2}}{a} = 0.5 A$ で、 $\frac{V _{1}}{I _{1}} = \frac{100}{0.5} = 200 Ω$ となり一致する。）

答え: $200$

よくある誤り

抵抗を巻数比の 1 乗で換算して $R_{1}^{'} = a R_{2}$ としてしまう誤り。電圧が $a$ 倍、電流が $\frac{1}{a}$ 倍になるので、正しくは $R_{1}^{'} = a^{2} R_{2}$ （例題なら $5 \times 8 = 40 Ω$ ではなく $25 \times 8 = 200 Ω$ ）。
電流も電圧と同じく巻数に比例するとして $\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{N _{1}}{N _{2}}$ としてしまう誤り。電力が等しいことから、正しくは $\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}$ （巻数の多い側の電流が小さい）。
換算の向きを逆にして、二次側の抵抗を一次側へ移すのに $\frac{R _{2}}{a ^{2}}$ としてしまう誤り。 $a = \frac{N _{1}}{N _{2}}$ のとき、一次側から見ると正しくは $a^{2} R_{2}$ 、一次側の抵抗 $R_{1}$ を二次側から見たものが $\frac{R _{1}}{a ^{2}}$ 。降圧変圧器（ $a > 1$ ）では二次側の小さな抵抗が一次側からは大きく見える、と覚えて確かめるとよい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
一次巻線の巻数 $N_{1} = 600$ 、二次巻線の巻数 $N_{2} = 150$ の理想変圧器がある。二次側に抵抗値 $8.0 Ω$ の抵抗負荷をつなぎ、一次側に正弦波交流電圧を加える。
一次側の端子から見たとき、この変圧器と負荷全体は 1 つの抵抗とみなせる。この抵抗（二次側の負荷を一次側に換算した抵抗）の値は何 $Ω$ か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

変圧器の等価回路と試験（大学物理電力・電気機器）