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電力・電気機器の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理電力・電気機器

一次巻線の巻数 $N_{1} = 600$ 、二次巻線の巻数 $N_{2} = 150$ の理想変圧器がある。二次側に抵抗値 $8.0 Ω$ の抵抗負荷をつなぎ、一次側に正弦波交流電圧を加える。

一次側の端子から見たとき、この変圧器と負荷全体は 1 つの抵抗とみなせる。この抵抗（二次側の負荷を一次側に換算した抵抗）の値は何 $Ω$ か。整数で答えよ。

この問題で使うもの

変圧器の巻数比とインピーダンスの換算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「変圧器の巻数比とインピーダンスの換算」を使う。まず巻数比 $a = \frac{N _{1}}{N _{2}}$ を求めよう。

ヒント 2

理想変圧器では $V_{1} = a V_{2}$ 、 $I_{1} = \frac{I _{2}}{a}$ なので、一次側から見た抵抗 $\frac{V _{1}}{I _{1}}$ は二次側の抵抗の $a^{2}$ 倍になる。

ヒント 3

$a = 4$ なので、 $8.0 Ω$ を $a^{2}$ 倍しよう。

答えと解説

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128

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解説を読む

手順 1: 巻数比を求める

$a = \frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{600}{150} = 4$

手順 2: 電圧と電流の関係を書く

理想変圧器では $\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{N _{1}}{N _{2}} = a$ 、また一次側と二次側の電力が等しい（ $V_{1} I_{1} = V_{2} I_{2}$ ）ので $\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{1}{a}$ 。よって
$V_{1} = a V_{2}, I_{1} = \frac{I _{2}}{a}$

手順 3: 一次側から見た抵抗を求める

二次側ではオームの法則より $V_{2} = R_{2} I_{2}$ （ $R_{2} = 8.0 Ω$ ）。一次側から見た抵抗は
$R_{1}^{'} = \frac{V _{1}}{I _{1}} = \frac{a V _{2}}{I _{2} / a} = a^{2} \frac{V _{2}}{I _{2}} = a^{2} R_{2}$
となり、二次側の抵抗を $a^{2}$ 倍すればよい。

手順 4: 数値を代入する

$R_{1}^{'} = 4^{2} \times 8.0 = 16 \times 8.0 = 128 Ω$

別解

理想変圧器では $\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{N _{1}}{N _{2}} = a$ 、 $\frac{I _{1}}{I _{2}} = \frac{N _{2}}{N _{1}} = \frac{1}{a}$ 。ここで $a = \frac{600}{150} = 4$ 。一次側から見た抵抗は
$R^{'} = \frac{V _{1}}{I _{1}} = \frac{a V _{2}}{I _{2} / a} = a^{2} \frac{V _{2}}{I _{2}} = a^{2} R_{2} = 4^{2} \times 8.0 = 128 Ω.$
検算: 二次電圧を $V_{2} = 10 V$ とすると $I_{2} = 1.25 A$ 、 $V_{1} = 40 V$ 、 $I_{1} = 0.3125 A$ で $V_{1} / I_{1} = 128 Ω$ 。電力 $V_{1} I_{1} = 12.5 W = V_{2} I_{2}$ で保存される。

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