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電力・電気機器の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電力・電気機器

単相変圧器があり、一次巻線と二次巻線の巻数比は $a = N_{1} / N_{2} = 20$ である。各巻線の抵抗と漏れリアクタンスは次のとおりである。

一次巻線: 抵抗 $r_{1} = 3.2 Ω$ 、漏れリアクタンス $x_{1} = 4.2 Ω$
二次巻線: 抵抗 $r_{2} = 0.0070 Ω$ 、漏れリアクタンス $x_{2} = 0.0095 Ω$

励磁回路は、励磁コンダクタンス $g_{0} = 2.5 \times 1 0^{- 5} S$ と励磁サセプタンスの並列で表し、これを一次端子に直接接続した簡易等価回路（L 形等価回路）でこの変圧器を表す。鉄損は励磁コンダクタンスで消費される電力とし、それ以外の損失は巻線の抵抗による銅損だけとする。

一次端子に周波数一定、大きさ $V_{1} = 2000 V$ （実効値）の正弦波交流電圧を加え、二次端子に抵抗値 $R_{L}$ を自由に変えられる純抵抗負荷を接続する。効率を（二次側負荷で消費される有効電力）/（一次側に入力される有効電力）と定義するとき、効率が最大となる $R_{L}$ の値 [ $Ω$ ] を正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

変圧器の等価回路と試験（説明と入口の問題）
変圧器の巻数比とインピーダンスの換算（説明と入口の問題）
変圧器の効率と最大効率（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

負荷抵抗と各巻線の定数をすべて一次側に換算し、負荷抵抗の一次換算値 $y = a^{2} R_{L}$ の関数として効率を表してみよう。励磁回路は一次端子にあるので、鉄損は一定である。

ヒント 2

$I^{2} = \frac{V _{1}^{2}}{( y + R ) ^{2} + X ^{2}}$ を使い、損失と出力の比 $L = \frac{P _{c} + P _{i}}{P _{o}}$ を $y$ の関数にして最小化する。効率最大は $L$ 最小と同じである。

ヒント 3

$R = 6.0 Ω$ 、 $X = 8.0 Ω$ である。 $L = g_{0} y + \frac{R + g _{0} ( R ^{2} + X ^{2} )}{y} + 2 g_{0} R$ となるので、 $\frac{d L}{d y} = 0$ から $y^{2} = \frac{R}{g _{0}} + R^{2} + X^{2}$ が得られる。

答えと解説

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\frac{49}{40}

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一次側への換算

二次側のインピーダンスは $a^{2} = 400$ 倍して一次側に換算する。
$R = r_{1} + a^{2} r_{2} = 3.2 + 400 \times 0.0070 = 6.0 Ω, X = x_{1} + a^{2} x_{2} = 4.2 + 400 \times 0.0095 = 8.0 Ω$
負荷抵抗の一次換算値を $y = a^{2} R_{L}$ とおく。

損失と出力

簡易等価回路では励磁回路が一次端子に直接つながっているので、励磁回路には負荷によらず常に $V_{1}$ がかかる。したがって鉄損は一定であり
$P_{i} = g_{0} V_{1}^{2} = 2.5 \times 1 0^{- 5} \times (2000)^{2} = 100 W$
となる。励磁サセプタンスは無効電力しか消費しないので効率には関係しない。

直列部分 $R + j X$ と負荷 $y$ に流れる電流の大きさを $I$ とすると
$I^{2} = \frac{V _{1}^{2}}{( y + R ) ^{2} + X ^{2}}$
であり、出力は $P_{o} = I^{2} y$ 、銅損は $P_{c} = I^{2} R$ である。

効率の最大化

$η = \frac{P _{o}}{P _{o} + P _{c} + P _{i}} = \frac{1}{1 + L}$ 、 $L = \frac{P _{c} + P _{i}}{P _{o}}$ とおくと、 $η$ 最大は $L$ 最小と同じである。
$L = \frac{R}{y} + \frac{g _{0} V _{1}^{2}}{I ^{2} y} = \frac{R}{y} + \frac{g _{0} {( y + R ) ^{2} + X ^{2} }}{y} = g_{0} y + \frac{R + g _{0} ( R ^{2} + X ^{2} )}{y} + 2 g_{0} R$
$y > 0$ で微分して $0$ とおく。
$\frac{d L}{d y} = g_{0} - \frac{R + g _{0} ( R ^{2} + X ^{2} )}{y ^{2}} = 0 ⟹ y^{2} = \frac{R}{g _{0}} + R^{2} + X^{2}$
$\frac{d ^{2} L}{d y ^{2}} = \frac{2 { R + g _{0} ( R ^{2} + X ^{2} )}}{y ^{3}} > 0$ なので、これは最小を与える。

数値を代入すると
$y^{2} = \frac{6.0}{2.5 \times 1 0 ^{- 5}} + 6. 0^{2} + 8. 0^{2} = 240000 + 100 = 240100, y = 490 Ω$
よって
$R_{L} = \frac{y}{a ^{2}} = \frac{490}{400} = \frac{49}{40} Ω (= 1.225 Ω)$

確認

このとき $I^{2} = \frac{4 \times 1 0 ^{6}}{49 6 ^{2} + 64} = \frac{4 \times 1 0 ^{6}}{246080} \approx 16.25 A^{2}$ で、銅損は $P_{c} \approx 97.5 W$ 、出力は $P_{o} \approx 7965 W$ 、効率は $η \approx 0.976$ となる。

一次電圧を一定に保つこの条件では、効率最大のとき銅損と鉄損は厳密には等しくならない。 $P_{c} = P_{i}$ とおいて求めると、 $R_{L} \approx 1.21 Ω$ となり誤りである。

別解

励磁分岐は一次端子に直接つながるので、鉄損は $P_{i} = V_{1}^{2} g_{0} = 200 0^{2} \times 2.5 \times 1 0^{- 5} = 100 W$ で一定である。

一次換算の巻線定数は次のとおり。
$R = r_{1} + a^{2} r_{2} = 3.2 + 400 \times 0.0070 = 6.0 Ω$
$X = x_{1} + a^{2} x_{2} = 4.2 + 400 \times 0.0095 = 8.0 Ω$

負荷を一次換算して $r = a^{2} R_{L} = 400 R_{L}$ とおく。負荷電流は $I^{2} = V_{1}^{2} / ((R + r)^{2} + X^{2})$ である。

効率は
$η = \frac{I ^{2} r}{P _{i} + I ^{2} ( R + r )} = \frac{r}{P _{i} / I ^{2} + R + r}$

$P_{i} / I^{2} = g_{0} {(R + r)^{2} + X^{2}}$ なので、 $1/ η$ は次のように書ける。
$1/ η = 1 + \frac{R + g _{0} ( R ^{2} + X ^{2} )}{r} + 2 g_{0} R + g_{0} r$

$r$ について最小にすると、
$r^{2} = \frac{R + g _{0} ( R ^{2} + X ^{2} )}{g _{0}} = \frac{R}{g _{0}} + R^{2} + X^{2}$

数値を入れる。 $R / g_{0} = 6/ (2.5 \times 1 0^{- 5}) = 240000$ 、 $R^{2} + X^{2} = 36 + 64 = 100$ だから $r^{2} = 240100$ 、よって $r = 490 Ω$ 。

$R_{L} = r / a^{2} = 490/400 = 49/40 = 1.225 Ω$

検算： $r = 490$ のとき $η$ は $r = 400$ や $r = 600$ の場合より大きい。これは $1/ η$ の式が $r$ について下に凸で、 $r = 490$ で極小になることからも確かめられる。

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