変圧器の等価回路と試験

無負荷試験から鉄損、短絡試験から銅損と巻線抵抗を求め、簡易等価回路の定数を一次側または二次側に換算して表せる

前提

変圧器の巻数比とインピーダンスの換算（大学物理電力・電気機器）
コイル・コンデンサーのリアクタンスと位相（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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説明

実際の変圧器には、鉄心で失われる電力（鉄損）と巻線の抵抗で失われる電力（銅損）があり、巻線から漏れる磁束による電圧降下もあります。これらを抵抗とコイルを組み合わせた「等価回路」で表すと、変圧器を普通の回路として計算できます。この技能では、二次側を開いて測る無負荷試験から鉄損と励磁回路の定数を、二次側を短絡して測る短絡試験から銅損と巻線抵抗・漏れリアクタンスを求め、それらを一次側または二次側から見た値に換算して表します。変圧器の効率や電圧変動率を計算する出発点になります。

なぜそうしてよいのか

簡易等価回路では、理想変圧器に次の 2 つの部分を付け加えます。(1) 一次端子に並列につながる「励磁回路」：鉄心を磁化するための小さな電流（励磁電流）が流れる部分で、電圧 $V_{1}$ に対して、電圧と同位相で鉄損を生む電流 $g_{0} V_{1}$ と、電圧より $\frac{π}{2}$ 遅れて鉄心を磁化する電流 $b_{0} V_{1}$ が並列に流れると考えます（ $g_{0}$ をコンダクタンス、 $b_{0}$ をサセプタンスといい、どちらも「電流 ÷ 電圧」で単位は S）。(2) 直列につながる「巻線インピーダンス」：一次・二次巻線の抵抗をまとめた $r$ と、漏れ磁束によるリアクタンスをまとめた $x$ 。二次側の $r_{2}, x_{2}$ は、巻数比 $a = \frac{N _{1}}{N _{2}}$ を使い $a^{2}$ 倍して一次側に移せるので、一次側換算では $r_{1}^{'} = r_{1} + a^{2} r_{2}$ 、 $x_{1}^{'} = x_{1} + a^{2} x_{2}$ と 1 組にまとまります（二次側換算なら全体を $\frac{1}{a ^{2}}$ 倍）。

抵抗とコイルが直列のとき、抵抗の電圧は電流と同位相、コイルの電圧は電流より $\frac{π}{2}$ 進むので、2 つの電圧は直角な矢印として合成され、大きさは $I r^{2} + x^{2}$ になります。つまり電圧と電流の比（インピーダンスの大きさ）は $Z = r^{2} + x^{2}$ です。並列の励磁回路でも同じ考え方で、電圧と同位相の電流 $g_{0} V_{1}$ と $\frac{π}{2}$ 遅れた電流 $b_{0} V_{1}$ は直角な矢印として合成されるので、励磁電流の大きさは $I_{0}^{2} = (g_{0} V_{1})^{2} + (b_{0} V_{1})^{2}$ 、すなわち $Y_{0} = \frac{I _{0}}{V _{1}}$ とおくと $Y_{0}^{2} = g_{0}^{2} + b_{0}^{2}$ です。また、コイルの電圧と電流は位相が $\frac{π}{2}$ ずれているので瞬間の電力 $v i$ を 1 周期で平均すると 0 になり、電力を消費するのは抵抗だけです。励磁回路でも、電力を消費するのは電圧と同位相の電流 $g_{0} V_{1}$ だけで、その電力は $V_{1} \cdot g_{0} V_{1} = g_{0} V_{1}^{2}$ です。

無負荷試験では二次側を開いて一次側に定格電圧 $V_{1}$ を加えます。二次電流は 0 で、一次電流は小さな励磁電流 $I_{0}$ だけなので巻線の銅損 $r I_{0}^{2}$ はほぼ 0、測った電力 $P_{0}$ はほぼ鉄損です。鉄損は鉄心の磁束（つまり電圧）で決まるので、定格電圧で測った $P_{0}$ は運転時の鉄損と同じとみなせます。 $P_{0} = g_{0} V_{1}^{2}$ から $g_{0} = \frac{P _{0}}{V _{1}^{2}}$ 、さらに $Y_{0} = \frac{I _{0}}{V _{1}}$ 、 $b_{0} = Y_{0}^{2} - g_{0}^{2}$ が求まります。短絡試験では二次側を短絡し、一次側の電圧を少しずつ上げて定格電流 $I_{1 n}$ を流します。このとき必要な電圧 $V_{s}$ は定格のわずか数 % なので、鉄心の磁束が小さく鉄損はほぼ 0、励磁電流も無視でき、測った電力 $P_{s}$ はほぼ定格電流での銅損です。 $P_{s} = r I_{1 n}^{2}$ から $r = \frac{P _{s}}{I _{1 n}^{2}}$ 、 $Z = \frac{V _{s}}{I _{1 n}}$ 、 $x = Z^{2} - r^{2}$ が求まります。

手順

無負荷試験（二次開放・定格電圧 $V_{1}$ ）の入力電力 $P_{0}$ を鉄損とし、必要なら $g_{0} = \frac{P _{0}}{V _{1}^{2}}$ 、 $Y_{0} = \frac{I _{0}}{V _{1}}$ 、 $b_{0} = Y_{0}^{2} - g_{0}^{2}$ を求める。
短絡試験（二次短絡・定格電流 $I_{1 n}$ ）の入力電力 $P_{s}$ を定格電流での銅損とする。
短絡試験から、測った側に換算した巻線抵抗 $r = \frac{P _{s}}{I _{1 n}^{2}}$ 、インピーダンス $Z = \frac{V _{s}}{I _{1 n}}$ 、漏れリアクタンス $x = Z^{2} - r^{2}$ を求める。
試験をした側と求めたい側を確かめ、巻数比 $a = \frac{N _{1}}{N _{2}} = \frac{V _{1 n}}{V _{2 n}}$ で換算する：一次側の値 → 二次側は $\frac{1}{a ^{2}}$ 倍、二次側の値 → 一次側は $a^{2}$ 倍。

例題

定格一次電圧 $6600 V$ 、定格二次電圧 $220 V$ の単相変圧器がある。二次側を短絡し、一次側に定格一次電流 $5 A$ を流したときの入力電力は $150 W$ であった。励磁電流と鉄損は無視できるものとして、簡易等価回路の巻線抵抗（一次・二次の巻線抵抗をまとめたもの）を二次側に換算した値 [ $Ω$ ] を、分数で表した正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1：無負荷試験のデータはなく、鉄損と励磁電流は無視するので、この手順は使わない。

手順 2：短絡試験の入力電力 $P_{s} = 150 W$ を、定格電流での銅損とする。

手順 3：試験は一次側で行ったので、一次側に換算した巻線抵抗は
$r_{1}^{'} = \frac{P _{s}}{I _{1 n}^{2}} = \frac{150}{5 ^{2}} = 6 Ω$

手順 4：巻数比は $a = \frac{6600}{220} = 30$ 。一次側の値を二次側に換算するので $\frac{1}{a ^{2}}$ 倍して
$r_{2}^{'} = \frac{r _{1}^{'}}{a ^{2}} = \frac{6}{900} = \frac{1}{150} Ω (\approx 6.67 \times 1 0^{- 3} Ω)$

答え: $\frac{1}{150}$

よくある誤り

無負荷試験の入力電力を銅損、短絡試験の入力電力を鉄損と取り違えてしまう誤り。無負荷試験では電流がほとんど流れないので銅損はほぼ 0、短絡試験では電圧が低いので鉄損はほぼ 0。正しくは $P_{0} \approx$ 鉄損、 $P_{s} \approx$ 定格電流での銅損 $= r I_{1 n}^{2}$ 。
短絡試験の電圧と電流から $r = \frac{V _{s}}{I _{1 n}}$ としてしまう誤り。 $\frac{V _{s}}{I _{1 n}}$ は抵抗と漏れリアクタンスを合わせたインピーダンスの大きさ $Z = r^{2} + x^{2}$ 。正しくは電力から $r = \frac{P _{s}}{I _{1 n}^{2}}$ を求め、 $x = Z^{2} - r^{2}$ 。
二次側への換算を巻数比の 1 乗で $r_{2}^{'} = \frac{r _{1}^{'}}{a}$ としたり、向きを逆にして $a^{2} r_{1}^{'}$ としてしまう誤り。インピーダンスは巻数比の 2 乗で換算され、一次側の値を二次側に移すなら正しくは $\frac{r _{1}^{'}}{a ^{2}}$ （例題なら $\frac{6}{30} = 0.2 Ω$ や $5400 Ω$ ではなく $\frac{1}{150} Ω$ ）。
励磁回路のサセプタンスを $b_{0} = Y_{0} - g_{0}$ と引き算で求めてしまう誤り。同位相の電流と $\frac{π}{2}$ 遅れの電流は直角に合成されるので、正しくは $Y_{0}^{2} = g_{0}^{2} + b_{0}^{2}$ から $b_{0} = Y_{0}^{2} - g_{0}^{2}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
定格容量 $10 kVA$ 、定格電圧 $2000 V /100 V$ の単相変圧器がある。二次側（低圧側）の端子を短絡し、一次側（高圧側）に低い電圧を加えて、一次電流を定格電流に合わせる短絡試験を行ったところ、電力計の読みは $125 W$ であった。短絡試験のときの鉄損は無視できるものとする。この変圧器の簡易等価回路において、一次側に換算した巻線抵抗（一次巻線と二次巻線の抵抗を合わせたもの） $r_{1}^{'}$ は何 $Ω$ か。整数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

変圧器の効率と最大効率（大学物理電力・電気機器）
誘導電動機の等価回路とトルク（大学物理電力・電気機器）