誘導電動機の等価回路とトルク

誘導電動機の等価回路（二次抵抗 $r_{2} / s$ ）からトルクを求め、比例推移（ $r_{2} / s$ が一定ならトルクが同じ）を使って、二次抵抗を変えたときの回転速度や必要な外部抵抗を求められる

前提

誘導電動機の同期速度とすべり（大学物理電力・電気機器）
変圧器の等価回路と試験（大学物理電力・電気機器）

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算数中学高校大学大学院

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変圧器の等価回路と試験（大学物理電力・電気機器）

説明

誘導電動機の二次側（回転子）を、すべり $s$ に応じて値の変わる抵抗 $r_{2} / s$ を含む回路として表すと、変圧器と同じように 1 相分の等価回路で電流・電力・トルクを計算できます。これを使うと、すべりからトルクを求めたり、二次抵抗を変えたときにどの速度で同じトルクが出るかを求めたりできます。巻線形誘導電動機の始動や速度制御で、二次回路に外部抵抗を挿入する場面で特によく使います。

なぜそうしてよいのか

回転子が同期速度より遅く回るとき、回転子導体が磁束を切る速さは静止時の $s$ 倍になります。そのため、二次巻線に誘導される起電力は静止時の値 $E_{2}$ の $s$ 倍の $s E_{2}$ 、二次周波数も $s f$ になり、二次巻線のリアクタンスも静止時の値 $x_{2}$ の $s$ 倍の $s x_{2}$ になります。二次抵抗 $r_{2}$ は周波数によらないので、1 相の二次電流の大きさは
$I_{2} = \frac{s E _{2}}{r _{2}^{2} + ( s x _{2} ) ^{2}} = \frac{E _{2}}{( r _{2} / s ) ^{2} + x _{2}^{2}}$
となります。右の形は「起電力 $E_{2}$ 、リアクタンス $x_{2}$ の静止した回路に抵抗 $r_{2} / s$ がつながっている」のと同じ電流です。これが等価回路で二次抵抗を $r_{2} / s$ と書く理由です。 $r_{2} / s = r_{2} + r_{2} \frac{1 - s}{s}$ と分けると、 $r_{2}$ で消費される電力が二次銅損、 $r_{2} \frac{1 - s}{s}$ で消費される電力が機械出力にあたり、二次入力・二次銅損・機械出力の比 $1 : s : (1 - s)$ とも一致します。

三相で二次入力は $P_{2} = 3 I_{2}^{2} \frac{r _{2}}{s}$ 、機械出力は $P_{m} = (1 - s) P_{2}$ です。回転子の角速度は $ω = (1 - s) ω_{s}$ （ $ω_{s} = \frac{2 π N _{s}}{60}$ は同期角速度 [rad/s]）なので、トルクは
$T = \frac{P _{m}}{ω} = \frac{( 1 - s ) P _{2}}{( 1 - s ) ω _{s}} = \frac{P _{2}}{ω _{s}} = \frac{3 E _{2}^{2} ( r _{2} / s )}{ω _{s} {( r _{2} / s ) ^{2} + x _{2}^{2} }}$
となります（一次側のインピーダンスも含めた簡易等価回路なら、一次換算した値で $T = \frac{3 V _{1}^{2} ( r _{2}^{'} / s )}{ω _{s} {( r _{1} + r _{2}^{'} / s ) ^{2} + ( x _{1} + x _{2}^{'} ) ^{2} }}$ ）。どちらの式でも、電源の電圧と周波数が一定なら、すべり $s$ と二次抵抗 $r_{2}$ は $r_{2} / s$ という組でしか現れません。したがって、二次抵抗を $m$ 倍にしても、すべりも $m$ 倍になれば $r_{2} / s$ は変わらず、電流もトルクも元と同じになります。これを比例推移といいます。

手順

同期速度 $N_{s} = \frac{120 f}{p}$ と、もとの運転状態のすべり $s_{1} = \frac{N _{s} - N _{1}}{N _{s}}$ を求める。
トルクそのものが必要なら、等価回路から二次入力 $P_{2} = 3 I_{2}^{2} \frac{r _{2}}{s}$ を求め、 $T = \frac{P _{2}}{ω _{s}}$ （ $ω_{s} = \frac{2 π N _{s}}{60}$ ）で計算する。
二次抵抗を変える問題では、新しい運転状態のすべり $s_{2}$ （または 1 相あたりの二次回路の全抵抗 $R_{2}$ ）を文字で置く。
同じトルクを出す条件として、比例推移の式 $\frac{r _{2}}{s _{1}} = \frac{R _{2}}{s _{2}}$ を立てる（外部抵抗 $R$ を入れたなら $R_{2} = r_{2} + R$ ）。
この式を未知数について解き、必要なら $N = (1 - s) N_{s}$ で回転速度に直す。

例題

三相巻線形誘導電動機が、周波数 $50 Hz$ 、極数 $4$ で運転されている。二次巻線の抵抗は 1 相あたり $0.2 Ω$ で、ある負荷トルクのもとで回転速度 $1440 mi n^{- 1}$ で回っている。電源の電圧と周波数を変えずに、同じトルクで回転速度を $1200 mi n^{- 1}$ にするには、二次回路に 1 相あたり何 $Ω$ の抵抗を直列に挿入すればよいか求めよ。

例題の解答

手順 1: 同期速度は $N_{s} = \frac{120 \times 50}{4} = 1500 mi n^{- 1}$ 。もとのすべりは $s_{1} = \frac{1500 - 1440}{1500} = 0.04$ 。

手順 3: 挿入する抵抗を 1 相あたり $R [Ω]$ とする。回転速度 $1200 mi n^{- 1}$ のときのすべりは $s_{2} = \frac{1500 - 1200}{1500} = 0.2$ で、二次回路の全抵抗は $0.2 + R$ 。

手順 4: トルクが同じなので、比例推移より
$\frac{0.2}{0.04} = \frac{0.2 + R}{0.2}$

手順 5: 左辺は $5$ なので $0.2 + R = 1.0$ 、よって $R = 0.8 Ω$ 。

答え: $0.8$

よくある誤り

挿入する外部抵抗 $R$ だけで比例推移の式を立て、 $\frac{r _{2}}{s _{1}} = \frac{R}{s _{2}}$ としてしまう誤り。新しい二次回路の抵抗は元の巻線抵抗と外部抵抗の和なので、正しくは $\frac{r _{2}}{s _{1}} = \frac{r _{2} + R}{s _{2}}$ 。
回転速度の比で比例推移を使い、 $\frac{r _{2}}{N _{1}} = \frac{r _{2} + R}{N _{2}}$ としてしまう誤り。比例するのは回転速度ではなくすべりなので、まず $s = \frac{N _{s} - N}{N _{s}}$ を求めて $\frac{r _{2}}{s _{1}} = \frac{r _{2} + R}{s _{2}}$ を使う。
トルクを機械出力と同期角速度から $T = \frac{P _{m}}{ω _{s}}$ と計算してしまう誤り。正しくは $T = \frac{P _{m}}{ω} = \frac{P _{m}}{( 1 - s ) ω _{s}} = \frac{P _{2}}{ω _{s}}$ で、機械出力は実際の角速度 $ω$ で、二次入力は同期角速度 $ω_{s}$ で割る。また $ω_{s} = \frac{2 π N _{s}}{60}$ と rad/s に直してから使う。
二次抵抗を変えても電源電圧や周波数が変わったときにまで比例推移を使ってしまう誤り。 $r_{2} / s$ が一定ならトルクが同じになるのは、電源の電圧・周波数（と他の回路定数）が一定のときに限る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
極数 $6$ 、周波数 $50 Hz$ の電源で運転される三相巻線形誘導電動機がある。二次巻線の抵抗は 1 相あたり $r_{2} = 0.05 Ω$ で、ある一定の負荷トルクのもとで回転速度 $960 min^{- 1}$ で運転している。二次回路の各相に $R = 0.1 Ω$ の外部抵抗を直列に入れ、同じ大きさのトルクを発生させるとき、回転速度は何 $min^{- 1}$ になるか。整数で答えよ。ただし、電源電圧と周波数は一定とし、機械損は無視する。

誘導電動機の等価回路とトルク

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題