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電力・電気機器の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理電力・電気機器

定格容量 $10 kVA$ の単相変圧器がある。この変圧器の鉄損は $P_{i} = 120 W$ で、負荷の大きさによらず一定とみなす。定格負荷（定格容量に等しい皮相電力の負荷）をかけたときの銅損は $P_{c} = 480 W$ である。銅損は負荷電流の 2 乗に比例し、二次端子電圧は常に定格電圧に保たれているものとする。負荷の力率は $1$ である。

負荷の大きさを変えたとき、この変圧器の効率が最大になる。その最大効率を既約分数で求めよ（効率は出力 $/$ （出力 $+$ 損失）とし、百分率ではなく比で答えること）。

この問題で使うもの

変圧器の効率と最大効率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（104 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

負荷率を $α$ （定格の何倍の負荷か）とおき、出力・銅損・鉄損をそれぞれ $α$ で表して効率の式を作ってみよう。

ヒント 2

銅損は $α^{2} P_{c}$ 、鉄損は $P_{i}$ で一定である。効率の分子分母を $α$ で割ると、 $\frac{P _{i}}{α} + α P_{c}$ を最小にすればよいことがわかる。

ヒント 3

$\frac{P _{i}}{α} + α P_{c}$ が最小になるのは銅損と鉄損が等しいとき、すなわち $α = P_{i} / P_{c} = \frac{1}{2}$ のときである。このときの出力と損失を求めよう。

答えと解説

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\frac{125}{131}

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解説を読む

負荷の皮相電力が定格容量の $α$ 倍（負荷率 $α$ ）のとき、二次端子電圧は定格電圧のままなので負荷電流は定格電流の $α$ 倍になる。銅損は電流の 2 乗に比例するので $α^{2} P_{c}$ 、鉄損は一定で $P_{i}$ である。

力率が $1$ なので出力は $α \times 10000 W$ であり、効率は
$η (α) = \frac{10000 α}{10000 α + P _{i} + α ^{2} P _{c}} = \frac{10000}{10000 + \frac{P _{i}}{α} + α P _{c}}$
となる。 $η$ が最大になるのは分母の $\frac{P _{i}}{α} + α P_{c}$ が最小になるときである。相加平均と相乗平均の関係（または $α$ で微分して $0$ とおく）より、これは
$\frac{P _{i}}{α} = α P_{c} すなわち α^{2} P_{c} = P_{i}$
のとき、つまり銅損と鉄損が等しいときに最小になる。
$α = \frac{P _{i}}{P _{c}} = \frac{120}{480} = \frac{1}{2}$

このとき
- 出力: $\frac{1}{2} \times 10000 = 5000 W$
- 銅損: $(\frac{1}{2})^{2} \times 480 = 120 W$
- 鉄損: $120 W$

よって最大効率は
$η_{m a x} = \frac{5000}{5000 + 120 + 120} = \frac{5000}{5240} = \frac{125}{131}$
（約 $95.4 %$ ）である。

別解

負荷率を $x$ （皮相電力 $= 10 x$ kVA）とすると、力率 1 なので出力は $P_{o} = 10000 x$ W。銅損は $480 x^{2}$ W、鉄損は $120$ W で一定。
$η = \frac{10000 x}{10000 x + 120 + 480 x ^{2}} = \frac{10000}{10000 + 120/ x + 480 x}$ 。
分母の $120/ x + 480 x$ は相加・相乗平均より $\geq 2 120 \cdot 480 = 2 \times 240 = 480$ 。等号は $120/ x = 480 x$ 、すなわち $480 x^{2} = 120$ （銅損 = 鉄損）のとき。
$x^{2} = \frac{1}{4}$ より $x = \frac{1}{2}$ （負荷 5 kVA）。
出力 $= 5000$ W、鉄損 $= 120$ W、銅損 $= 480 \times \frac{1}{4} = 120$ W、損失計 $= 240$ W。
$η_{m a x} = \frac{5000}{5000 + 240} = \frac{5000}{5240} = \frac{125}{131} \approx 0.9542$ 。
検算: $x = 0.4$ では出力 $4000$ 、銅損 $76.8$ 、損失 $196.8$ で $η = 4000/4196.8 \approx 0.95311$ 。 $x = 0.6$ では出力 $6000$ 、銅損 $172.8$ 、損失 $292.8$ で $η = 6000/6292.8 \approx 0.95347$ 。 $125/131 \approx 0.95420$ はどちらより大きい。

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