電磁気と交流の問題

並列回路では、どの枝にも同じ電圧 $V=V_0\sin \omega t$ がかかる。そこで、各枝の電流をこの共通の電圧を基準に表し、足し合わせる。

枝 1（抵抗とコイルの直列）の電流

コイルのリアクタンスは
$$\omega L=500\times 0.080=40\Omega$$
枝 1 は抵抗とコイルの直列回路なので、そのインピーダンスは
$$Z_1=\sqrt{30^2+40^2}=50\Omega$$
である。コイルを含むので、電流は電圧より位相が $\varphi$ だけ遅れる。ここで
$$\cos \varphi =\frac{30}{50}=0.6,\sin \varphi =\frac{40}{50}=0.8$$
である。よって枝 1 の電流は、加法定理を使って
$$I_1=\frac{V_0}{50}\sin (\omega t-\varphi )=\frac{V_0}{50}(\sin \omega t\cos \varphi -\cos \omega t\sin \varphi )$$
$$=\frac{V_0}{50}(0.6\sin \omega t-0.8\cos \omega t)=0.012V_0\sin \omega t-0.016V_0\cos \omega t$$
と書ける。

枝 2（コンデンサー）の電流

コンデンサーのリアクタンスは $\frac{1}{\omega C}$ である。コンデンサーでは電流が電圧より位相が $\frac{\pi }{2}$ 進むので、
$$I_2=\omega C{V}_0\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)=\omega C{V}_0\cos \omega t$$
となる。

足し合わせと同位相の条件

キルヒホッフの第 1 法則より、電源から流れ出る電流は
$$I=I_1+I_2=0.012V_0\sin \omega t+(\omega C-0.016)V_0\cos \omega t$$
である。$I$ が $V=V_0\sin \omega t$ と同位相になるのは、$I$ が $\sin \omega t$ だけで表されるとき、つまり $\cos \omega t$ の係数が $0$ のときである。よって
$$\omega C-0.016=0$$
$$C=\frac{0.016}{500}=3.2\times 10^{-5}\mathrm{F}=32\mu \mathrm{F}$$

（参考：文字で書くと $C=\frac{L}{R^2+{\omega }^2{L}^2}=\frac{0.080}{30^2+40^2}$ となり、同じ値になる。）

コイルのリアクタンスは $X_L=\omega L=500\times 0.080=40\Omega$。枝 1 のインピーダンスは $Z_1=\sqrt{30^2+40^2}=50\Omega$ で、電流は電圧より位相が $\phi$ だけ遅れる（$\tan \phi =40/30$、$\sin \phi =0.8$）。

枝 1 の電流の振幅は $V_0/50$。これを電圧と同位相の成分と、$90^{\circ }$ 遅れの成分に分けると、遅れ成分の振幅は $\frac{V_0}{50}\sin \phi =\frac{V_0}{50}\times 0.8=0.016V_0$。

枝 2 のコンデンサーを流れる電流は電圧より位相が $90^{\circ }$ 進み、振幅は $\omega C{V}_0$。

合計の電流が電圧と同位相になるには、枝 1 の遅れ成分とコンデンサー電流（進み成分）が打ち消し合えばよい。
$\omega C{V}_0=0.016V_0$ より $C=0.016/500=3.2\times 10^{-5}\mathrm{F}=32\mu \mathrm{F}$。

検算：アドミタンスの虚部は $\omega C-\frac{X_L}{R^2+X_L^2}=0.016-\frac{40}{2500}=0$ となり、条件を満たす。