円運動・単振動・万有引力の問題

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の人工衛星が運動している。地球の中心から最も近い点（近地点）$\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点（遠地点）$\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、人工衛星には地球からの万有引力だけがはたらき、地球は静止しているものとする。また、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。人工衛星が近地点 $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

ある惑星 $\mathrm{P}$ のまわりを、2 つの衛星 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ が公転している。衛星 $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円軌道を、周期 $T$ で公転している。衛星 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{P}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道を、周期 $8T$ で公転している。2 つの衛星は $\mathrm{P}$ からの万有引力だけを受けて運動し、衛星どうしが及ぼしあう力は無視できるものとする。衛星 $\mathrm{B}$ の楕円軌道の半長軸の長さを、$r$ を用いて表せ。

質量 $M$ の月の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道の上を、質量 $m$ の探査機が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点 $\mathrm{P}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $r$、最も遠い点 $\mathrm{Q}$ での $\mathrm{O}$ からの距離は $3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、探査機にはたらく力は月からの万有引力だけとする（ほかの天体の影響は無視する）。また、月は静止しているものとし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。点 $\mathrm{Q}$ での探査機の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

質量 $M$ の地球の中心 $\mathrm{O}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道上を、質量 $m$ の人工衛星が回っている。軌道上で $\mathrm{O}$ に最も近い点（近地点）を $\mathrm{P}$、最も遠い点（遠地点）を $\mathrm{Q}$ とし、$\mathrm{OP}=r$、$\mathrm{OQ}=3r$ である。万有引力定数を $G$ とし、衛星には地球からの万有引力だけがはたらくものとする。地球は静止しているとみなし、万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準として $-G\frac{Mm}{(\text{Oからの距離})}$ で表されるものとする。近地点 $\mathrm{P}$ での衛星の速さを、$G$, $M$, $r$ を用いて表せ。

太陽のまわりを公転するある小惑星の軌道はだ円で、その軌道の長半径（半長軸の長さ）は、地球の公転軌道の半径の $4.0$ 倍である。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径一定の円とみなし、地球の公転周期を $1.0$ 年とする。

この小惑星の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地球と小惑星はどちらも太陽からの万有引力だけを受けて運動しているとし、ほかの天体の影響は考えなくてよい。