円運動・単振動・万有引力の問題

地球は太陽のまわりを公転している。地球の公転軌道を、太陽を中心とする半径 $a$ の円とみなし、地球の公転周期を $1$ 年とする。ある小惑星は、太陽を $1$ つの焦点とする楕円軌道を描いて公転しており、その楕円の半長軸は $9a$ である。

地球と小惑星のどちらについても、ケプラーの第 $3$ 法則（公転周期 $T$ の $2$ 乗は軌道の半長軸 $r$ の $3$ 乗に比例し、比例定数は太陽のまわりを回る天体で共通）が成り立つものとする。地球と小惑星のあいだにはたらく引力など、太陽以外の天体の影響は無視する。円軌道の半長軸はその円の半径に等しいとする。

この小惑星の公転周期は何年か。

地球は太陽のまわりを公転しており、その公転周期は $1$ 年、軌道の半長軸は $a_{\mathrm{E}}$ である。ある小惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて太陽のまわりを公転しており、その軌道の半長軸は $9a_{\mathrm{E}}$ である。ケプラーの第 3 法則を用いて、この小惑星の公転周期は何年か求めよ。ただし、太陽以外の天体からの影響は無視できるものとする。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。人工衛星 $\mathrm{S}$ が、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $4R$ の円軌道上を等速円運動している。衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとし、地球の自転と、地球以外の天体からの影響は考えない。地球の質量を $M$、万有引力定数を $G$ とすると、$GM=g{R}^2$ が成り立つものとする。この衛星の周期は何 s か。円周率を $\pi =3.14$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

ある彗星が、太陽 $\mathrm{S}$ を 1 つの焦点とするだ円軌道をえがいて公転している。この軌道上で彗星が太陽にもっとも近づく点を $\mathrm{P}$、もっとも遠ざかる点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\mathrm{S}$ と $\mathrm{P}$ の距離は $a$、$\mathrm{S}$ と $\mathrm{Q}$ の距離は $3a$ である。

彗星が $\mathrm{P}$ を通過するときの速さを $v$ とする。彗星が $\mathrm{Q}$ を通過するときの速さを、$v$ を用いて表せ。ただし、彗星は太陽からの万有引力だけを受けて運動するものとし、太陽は静止しているとみなす。

ある惑星 $\mathrm{P}$ のまわりを、2 つの衛星 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ が公転している。衛星 $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円軌道を、周期 $T$ で公転している。衛星 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{P}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道を、周期 $8T$ で公転している。2 つの衛星は $\mathrm{P}$ からの万有引力だけを受けて運動し、衛星どうしが及ぼしあう力は無視できるものとする。衛星 $\mathrm{B}$ の楕円軌道の半長軸の長さを、$r$ を用いて表せ。