円運動・単振動・万有引力の問題

地球は太陽のまわりを公転しており、その公転周期は $1$ 年、軌道の半長軸は $a_{\mathrm{E}}$ である。ある小惑星は、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描いて太陽のまわりを公転しており、その軌道の半長軸は $9a_{\mathrm{E}}$ である。ケプラーの第 3 法則を用いて、この小惑星の公転周期は何年か求めよ。ただし、太陽以外の天体からの影響は無視できるものとする。

太陽のまわりを公転するある小惑星の軌道はだ円で、その軌道の長半径（半長軸の長さ）は、地球の公転軌道の半径の $4.0$ 倍である。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径一定の円とみなし、地球の公転周期を $1.0$ 年とする。

この小惑星の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、地球と小惑星はどちらも太陽からの万有引力だけを受けて運動しているとし、ほかの天体の影響は考えなくてよい。

ある惑星 $\mathrm{P}$ のまわりを、2 つの衛星 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ が公転している。衛星 $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円軌道を、周期 $T$ で公転している。衛星 $\mathrm{B}$ は $\mathrm{P}$ を 1 つの焦点とする楕円軌道を、周期 $8T$ で公転している。2 つの衛星は $\mathrm{P}$ からの万有引力だけを受けて運動し、衛星どうしが及ぼしあう力は無視できるものとする。衛星 $\mathrm{B}$ の楕円軌道の半長軸の長さを、$r$ を用いて表せ。

地球を、中心 $\mathrm{O}$、半径 $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。人工衛星 $\mathrm{S}$ が、$\mathrm{O}$ を中心とする半径 $4R$ の円軌道上を等速円運動している。衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとし、地球の自転と、地球以外の天体からの影響は考えない。地球の質量を $M$、万有引力定数を $G$ とすると、$GM=g{R}^2$ が成り立つものとする。この衛星の周期は何 s か。円周率を $\pi =3.14$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

地球を半径 $R$ の一様な球とみなし、地表での重力加速度の大きさを $g$ とする。人工衛星 S が、地球の中心 O を中心とする半径 $2R$ の円軌道（地表からの高さ $R$）上を等速円運動している。万有引力定数を $G$、地球の質量を $M$ とし、地表の重力は地球からの万有引力に等しい（地球の自転の影響は無視する）とする。人工衛星 S の速さ $v$ を、$g$ と $R$ を用いて表せ。ただし、衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。