重力加速度から求める地球の質量

地表の重力加速度 $g$ 、万有引力定数 $G$ 、地球の半径 $R$ から $GM = g R^{2}$ を使って地球の質量や平均密度を求められる

前提

地球の質量と平均密度（高校地学地球の形と内部構造）
万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

地球をはかりにのせることはできませんが、地表で物体が落ちるときの重力加速度 $g$ 、万有引力定数 $G$ 、地球の半径 $R$ がわかれば、 $GM = g R^{2}$ という関係から地球の質量 $M$ を計算できます。求めた質量を地球の体積で割れば、地球の平均密度も求められます。地球の内部がどんな物質でできているかを考えるための、基本となる計算です。

なぜそうしてよいのか

地表にある質量 $m$ の物体には、重力 $m g$ がはたらきます。この重力はおもに地球がその物体を引く万有引力です。地球全体からの万有引力は、地球の質量 $M$ がすべて地球の中心に集まっているとして計算してよく、物体と地球の中心の距離は地球の半径 $R$ なので、万有引力の大きさは $G \frac{M m}{R ^{2}}$ です。

地球の自転による影響は小さいので無視して、重力と万有引力が等しいとおくと
$m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$
となります。両辺を $m$ で割ると $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ 、つまり
$GM = g R^{2} ⟹ M = \frac{g R ^{2}}{G}$
です。物体の質量 $m$ が消えるので、どんな物体を落としても同じ $g$ になること、そして $g$ を測れば地球の質量がわかることが読み取れます。

さらに、地球を半径 $R$ の球とみなせば体積は $\frac{4}{3} π R^{3}$ なので、平均密度は $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{3 g}{4 π GR}$ と求められます。

手順

与えられた $g$ 、 $G$ 、 $R$ の単位を確認し、 $m$ ・ $kg$ ・ $s$ にそろえる（ $R$ が $km$ なら $m$ に直す）
$R^{2}$ を計算する。指数部分は $(a \times 1 0^{n})^{2} = a^{2} \times 1 0^{2 n}$
$M = \frac{g R ^{2}}{G}$ に代入して地球の質量（ $kg$ ）を求める
平均密度を問われたときは、 $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}}$ で求め、必要なら $1 kg/ m^{3} = 1 0^{- 3} g/c m^{3}$ で単位を直す
指定された桁数に丸める

例題

地表の重力加速度を $9.8 m/ s^{2}$ 、地球の半径を $6.4 \times 1 0^{6} m$ 、万有引力定数を $6.7 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ とする。地球の自転の影響は無視し、地表の重力は地球からの万有引力に等しいとして、地球の質量は何 $kg$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1（単位の確認）
$g = 9.8 m/ s^{2}$ 、 $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ 、 $G = 6.7 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ で、すべて $m$ ・ $kg$ ・ $s$ の単位になっている。

手順 2（ $R^{2}$ を計算する）
$R^{2} = (6.4)^{2} \times 1 0^{12} = 40.96 \times 1 0^{12} = 4.096 \times 1 0^{13} m^{2}$

手順 3（ $M = \frac{g R ^{2}}{G}$ に代入する）
$M = \frac{9.8 \times 4.096 \times 1 0 ^{13}}{6.7 \times 1 0 ^{- 11}} = \frac{40.14 \times 1 0 ^{13}}{6.7 \times 1 0 ^{- 11}} \approx 5.99 \times 1 0^{24} kg$

手順 4 は、平均密度を問われていないので使わない。

手順 5（丸める）
有効数字 2 桁で $6.0 \times 1 0^{24} kg$ 。

答え: $6.0 \times 1 0^{24}$

よくある誤り

半径を 2 乗し忘れて $M = \frac{g R}{G}$ としてしまう誤り。万有引力は距離の 2 乗に反比例するので、正しくは $M = \frac{g R ^{2}}{G}$ 。
式を変形するときに $G$ と $g$ の位置を取り違え、 $M = \frac{G R ^{2}}{g}$ としてしまう誤り。 $m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ から $M$ について解くと、正しくは $M = \frac{g R ^{2}}{G}$ 。
半径を $km$ のまま $R = 6.4 \times 1 0^{3}$ として代入してしまう誤り。 $G$ の単位は $m$ を使っているので、正しくは $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ を代入する（ $km$ のままだと $M$ が $1 0^{6}$ 分の 1 になる）。
$G$ の指数が負であることを見落とし、 $\frac{1 0 ^{13}}{1 0 ^{- 11}} = 1 0^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1 0 ^{13}}{1 0 ^{- 11}} = 1 0^{13 - (- 11)} = 1 0^{24}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地表での重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、地球の半径を $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ 、万有引力定数を $G = 6.7 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ とする。地表の物体にはたらく重力は地球からの万有引力に等しいものとして、地球の質量 $M$ は何 kg か。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
地球を半径 $R = 6.37 \times 1 0^{6} m$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g = 9.80 m/ s^{2}$ 、万有引力定数は $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。
地震波の観測から、地球の中心には半径 $r = 3.48 \times 1 0^{6} m$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9 g/c m^{3}$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $π = 3.14$ とする。

この技能の次に学べること

重力異常（高校地学地球の形と内部構造）