地球の形と内部構造の問題

難易度 3共通テストレベル高校地学地球の形と内部構造

地球を半径 $R = 6.37 \times 1 0^{6} m$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g = 9.80 m/ s^{2}$ 、万有引力定数は $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。

地震波の観測から、地球の中心には半径 $r = 3.48 \times 1 0^{6} m$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9 g/c m^{3}$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $π = 3.14$ とする。

この問題で使うもの

重力加速度から求める地球の質量（説明と入口の問題）
層構造と各層の質量・密度（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず重力加速度と万有引力の関係から地球全体の質量を求め、次に核の質量を体積×密度で求めて、引き算で外側の層の質量を考えよう。

ヒント 2

$m g = G \frac{M m}{R ^{2}}$ から $M = \frac{g R ^{2}}{G}$ 。核の質量は $\frac{4}{3} π r^{3} \times ρ_{c}$ で、密度は $g/c m^{3}$ を $kg/ m^{3}$ に直す（ $1 g/c m^{3} = 1000 kg/ m^{3}$ ）。

ヒント 3

地球の質量は約 $5.96 \times 1 0^{24} kg$ 、核の質量は約 $1.92 \times 1 0^{24} kg$ になる。核の割合を求めて 1 から引けばよい。

答えと解説

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解説を読む

1. 地球全体の質量

地球の質量を $M$ 、地表の物体の質量を $m$ とする。地表の物体にはたらく重力 $m g$ は万有引力 $G \frac{M m}{R ^{2}}$ に等しいので
$m g = G \frac{M m}{R ^{2}} より M = \frac{g R ^{2}}{G}$
となる。数値を代入すると
$R^{2} = (6.37 \times 1 0^{6})^{2} = 4.0577 \times 1 0^{13} m^{2}$
$M = \frac{9.80 \times 4.0577 \times 1 0 ^{13}}{6.67 \times 1 0 ^{- 11}} = \frac{3.9765 \times 1 0 ^{14}}{6.67 \times 1 0 ^{- 11}} ≒ 5.962 \times 1 0^{24} kg$

（参考：地球の平均密度は $\frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} ≒ 5.5 \times 1 0^{3} kg/ m^{3} = 5.5 g/c m^{3}$ となる。）

2. 核の質量

核の密度を SI 単位に直すと $10.9 g/c m^{3} = 1.09 \times 1 0^{4} kg/ m^{3}$ である。核の体積は
$\frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (3.48 \times 1 0^{6})^{3} = 4.1867 \times 4.2144 \times 1 0^{19} ≒ 1.7644 \times 1 0^{20} m^{3}$
よって核の質量 $M_{c}$ は
$M_{c} = 1.7644 \times 1 0^{20} \times 1.09 \times 1 0^{4} ≒ 1.923 \times 1 0^{24} kg$

3. 核のまわりの層の質量の割合

核が地球全体の質量に占める割合は
$\frac{M _{c}}{M} = \frac{1.923 \times 1 0 ^{24}}{5.962 \times 1 0 ^{24}} ≒ 0.3226$
したがって、マントルと地殻を合わせた層の質量の割合は
$1 - 0.3226 = 0.6774$
すなわち約 $67.7 %$ である。小数第 1 位を四捨五入して $68 %$ となる。

（核は体積では地球の約 $16 %$ にすぎないが、密度が大きいため質量では約 $32 %$ を占める。）

別解

地球全体の質量 $M$ は、地表での重力と万有引力が等しいことから $m g = GM m / R^{2}$ より $M = g R^{2} / G$ 。
$R^{2} = (6.37 \times 1 0^{6})^{2} = 4.0577 \times 1 0^{13} m^{2}$ なので、
$M = 9.80 \times 4.0577 \times 1 0^{13} / (6.67 \times 1 0^{- 11}) \approx 5.96 \times 1 0^{24} kg$ 。

核の体積は $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 。 $r^{3} = (3.48 \times 1 0^{6})^{3} = 4.2144 \times 1 0^{19} m^{3}$ なので、
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 4.2144 \times 1 0^{19} \approx 1.7644 \times 1 0^{20} m^{3}$ 。
核の密度は $10.9 g/c m^{3} = 1.09 \times 1 0^{4} kg/ m^{3}$ なので、
核の質量は $1.7644 \times 1 0^{20} \times 1.09 \times 1 0^{4} \approx 1.923 \times 1 0^{24} kg$ 。

核の質量の割合は $1.923/5.962 \approx 0.3226$ 、つまり約 32.3 %。
マントルと地殻を合わせた層の割合は $100 - 32.3 \approx 67.7 %$ 。
小数第 1 位を四捨五入して 68 %。

検算： $0.3226 \times 5.962 = 1.923$ で一致する。

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