層構造と各層の質量・密度

地球を核と外側の層（マントル・地殻）の球と球殻に分け、各層の半径・密度・質量の関係から、核の密度や各層の質量の割合を求められる

前提

地球の質量と平均密度（高校地学地球の形と内部構造）

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地球の質量と平均密度（高校地学地球の形と内部構造）

説明

地球を、中心の核（球）とそのまわりの層（マントル・地殻をまとめた球殻）に分けて考えると、各層の質量は「密度 × 体積」で表せ、それらを足したものが地球全体の質量になります。この関係を使うと、地球の平均密度と外側の層の密度から核の密度を求めたり、地球全体の質量のうち核が何割を占めるかを求めたりできます。地表の岩石だけでは説明できない地球の平均密度の大きさから、核が非常に重い物質でできていることを数値で確かめるのに使います。

なぜそうしてよいのか

半径 $R$ の地球の中に、半径 $r$ の核があるとします。核は半径 $r$ の球なので体積は $\frac{4}{3} π r^{3}$ です。外側の層は、半径 $R$ の球から半径 $r$ の球をくりぬいた形（球殻）なので、体積は $\frac{4}{3} π R^{3} - \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π (R^{3} - r^{3})$ です。

核の密度を $ρ_{1}$ 、外側の層の密度を $ρ_{2}$ とすると、密度の定義から各層の質量は「密度 × 体積」で、地球全体の質量はその和です。地球の平均密度を $ρ ˉ$ とすると、全体の質量は $ρ ˉ \times \frac{4}{3} π R^{3}$ とも書けるので
$ρ ˉ \cdot \frac{4}{3} π R^{3} = ρ_{1} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} + ρ_{2} \cdot \frac{4}{3} π (R^{3} - r^{3})$
が成り立ちます。両辺の $\frac{4}{3} π$ は共通なので消せて、さらに $R^{3}$ で割ると、 $k = (\frac{r}{R})^{3}$ （核が地球の体積に占める割合）を使って
$ρ ˉ = ρ_{1} k + ρ_{2} (1 - k)$
となります。平均密度は、各層の密度を体積の割合で重みをつけて平均したものだ、ということです。

ここで大切なのは、体積は半径の 3 乗に比例するという点です。核の半径が地球の半径の $\frac{1}{2}$ なら、体積は $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ にしかなりません。また、核の質量の割合は $\frac{ρ _{1} k}{ρ ˉ}$ で求められます。

手順

核の半径と地球の半径の比 $\frac{r}{R}$ を求め、核の体積の割合 $k = (\frac{r}{R})^{3}$ と外側の層の体積の割合 $1 - k$ を計算する
各層の質量を「密度 × 体積」で表し、それらの和が全体の質量（平均密度 × 全体の体積）に等しい式を立てる: $ρ ˉ = ρ_{1} k + ρ_{2} (1 - k)$
立てた式を、求める量（核の密度 $ρ_{1}$ など）について解く
質量の割合を問われたときは、 $\frac{その層の密度 \times その層の体積の割合}{ρ ˉ}$ を計算する
指定された桁数に丸める

例題

地球を、半径が地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ の球の核と、そのまわりの一様な層（マントルと地殻）に分けたモデルを考える。地球の平均密度を $5.5 g/c m^{3}$ 、外側の層の密度を $4.4 g/c m^{3}$ とすると、核の密度は何 $g/c m^{3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1（体積の割合を求める）
$\frac{r}{R} = \frac{1}{2}$ なので、核の体積の割合は $k = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ 、外側の層は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ 。

手順 2（質量の式を立てる）
核の密度を $ρ_{1}$ とすると
$5.5 = ρ_{1} \times \frac{1}{8} + 4.4 \times \frac{7}{8}$

手順 3（解く）
両辺を $8$ 倍すると $44 = ρ_{1} + 30.8$ より $ρ_{1} = 13.2$ 。

手順 4 は、質量の割合を問われていないので使わない（参考: 核の質量の割合は $\frac{13.2 \times \frac{1}{8}}{5.5} = 0.30$ 、つまり体積は $\frac{1}{8}$ でも質量は約 3 割）。

手順 5（丸める）
有効数字 2 桁で $13 g/c m^{3}$ 。

答え: $13$

よくある誤り

半径の比をそのまま体積の比として $k = \frac{1}{2}$ としてしまう誤り。体積は半径の 3 乗に比例するので、正しくは $k = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ 。
外側の層の体積を、半径の差 $R - r$ を使って $\frac{4}{3} π (R - r)^{3}$ としてしまう誤り。球殻は大きい球から小さい球をくりぬいたものなので、正しくは $\frac{4}{3} π (R^{3} - r^{3})$ 。
平均密度を体積の割合を考えずに $ρ ˉ = \frac{ρ _{1} + ρ _{2}}{2}$ としてしまう誤り（例題なら $ρ_{1} = 2 \times 5.5 - 4.4 = 6.6$ となってしまう）。正しくは体積の割合で重みをつけて $ρ ˉ = ρ_{1} k + ρ_{2} (1 - k)$ 。
核の質量の割合を体積の割合 $k$ と同じとしてしまう誤り。核は密度が大きいので、正しくは質量の割合は $\frac{ρ _{1} k}{ρ ˉ}$ （例題では $\frac{1}{8}$ ではなく約 $0.30$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の外側の層（マントルと地殻をあわせたもの）の 2 つに分けて考える。簡単のため、核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ とし、核と外側の層の密度はそれぞれ一様であるとする。
地球全体の平均密度が $5.5 g/c m^{3}$ 、外側の層の密度が $4.5 g/c m^{3}$ であるとき、核の密度は何 $g/c m^{3}$ か。

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