地球の形と内部構造の問題

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。地球の半径を $6.4\times 10^6\mathrm{m}$、核の半径を $3.5\times 10^6\mathrm{m}$、地球の質量を $6.0\times 10^{24}\mathrm{kg}$ とする。また、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとする。円周率は $\pi =3.14$ とし、半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ で表されるものとする。

このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 2 位を四捨五入して、小数第 1 位まで求めよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の外側の層（マントルと地殻をあわせたもの）の 2 つに分けて考える。簡単のため、核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ とし、核と外側の層の密度はそれぞれ一様であるとする。

地球全体の平均密度が $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の密度が $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとき、核の密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。

地球を半径 $R=6.37\times 10^6\mathrm{m}$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$、万有引力定数は $G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。

地震波の観測から、地球の中心には半径 $r=3.48\times 10^6\mathrm{m}$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9g/c{\mathrm{m}}^3$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $\pi =3.14$ とする。

ある大陸に、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、それに隣接する山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $32\mathrm{km}$ である。かつて、この山脈の平均の標高は $4.4\mathrm{km}$ であった。その後、長い時間をかけて山脈の表面が一様に侵食され、取り除かれた岩石の厚さは合計で $11\mathrm{km}$ になった。侵食が進む間、山脈はつねにアイソスタシーが成り立つように隆起し続けたものとする。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻は平野でも山脈でも同じ密度の 1 層からなるとする。また、アイソスタシーは、密度の小さい地殻がマントルに浮かび、山の下には地殻の「根」が張り出しているというモデル（エアリーのモデル）で成り立つとする。

現在の山脈の平均の標高は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

ある地域には、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、その近くにある平均の標高 $4.0\mathrm{km}$ の山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $30\mathrm{km}$ である。地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻とマントルの密度はどこでも一様とする。

この地域ではアイソスタシーが成り立っていて、地殻はマントルの上に浮かんでつりあっているとする。すなわち、山脈の地殻の底よりも深いある深さ（補償面）では、どの地点でも、その上にある岩石の単位面積あたりの質量が等しいとする。また、山脈の地殻の上面は山脈の平均の標高の高さで平らであるとみなす。

このとき、山脈の地下の地殻の厚さ（山脈の地表から地殻の底までの厚さ）は何 $\mathrm{km}$ か。