地球の形と内部構造の問題

ある地域では、標高 $0\text{km}$ の平野の下の地殻の厚さが $30\text{km}$ である。この地域に標高 $4\text{km}$ の山脈があり、山脈の下では地殻の底が、平野の下の地殻の底よりも $d\text{km}$ だけ深いところまでのびている（山の根）。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、どちらも一様であるとする。山脈の根の底の深さを補償面とし、アイソスタシーが成り立っている（補償面より上の、単位面積あたりの質量が平野の下と山脈の下で等しい）とするとき、$d$ はいくらか。

ある大陸に、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、それに隣接する山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $32\mathrm{km}$ である。かつて、この山脈の平均の標高は $4.4\mathrm{km}$ であった。その後、長い時間をかけて山脈の表面が一様に侵食され、取り除かれた岩石の厚さは合計で $11\mathrm{km}$ になった。侵食が進む間、山脈はつねにアイソスタシーが成り立つように隆起し続けたものとする。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻は平野でも山脈でも同じ密度の 1 層からなるとする。また、アイソスタシーは、密度の小さい地殻がマントルに浮かび、山の下には地殻の「根」が張り出しているというモデル（エアリーのモデル）で成り立つとする。

現在の山脈の平均の標高は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

ある地域の地下は、P 波の速さ $V_1$ の一様な地殻と、その下の P 波の速さ $V_2$（$V_2>V_1$）の一様なマントル最上部からできている。両者の境界であるモホロビチッチ不連続面（モホ面）は水平である。

この地域で、ごく浅い地震が起こった。震源は地表にあるとみなせる。震源から一直線上に並んだ観測点で、P 波の初動が届くまでの時間（走時）を測ったところ、次の表の結果を得た。

震央距離 $90\mathrm{km}$ までの 3 点では、地殻内を直接伝わった P 波（直接波）が最初に届いた。震央距離 $240\mathrm{km}$ 以上の 3 点では、モホ面に沿ってマントル最上部を伝わった P 波（屈折波）が最初に届いた。走時曲線は、どちらの波についても直線になる。

直接波と屈折波の走時曲線が交わる点の震央距離を $x$ とする。このとき、モホ面の深さ $h$ との間には
$$h=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{V_2-V_1}{V_2+V_1}}$$
の関係がある。この地域のモホ面の深さは何 $\mathrm{km}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

地球を半径 $R=6.37\times 10^6\mathrm{m}$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$、万有引力定数は $G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。

地震波の観測から、地球の中心には半径 $r=3.48\times 10^6\mathrm{m}$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9g/c{\mathrm{m}}^3$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $\pi =3.14$ とする。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。地球の半径を $6.4\times 10^6\mathrm{m}$、核の半径を $3.5\times 10^6\mathrm{m}$、地球の質量を $6.0\times 10^{24}\mathrm{kg}$ とする。また、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとする。円周率は $\pi =3.14$ とし、半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ で表されるものとする。

このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 2 位を四捨五入して、小数第 1 位まで求めよ。