地球の形と内部構造の問題

ある地域には、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、その近くにある平均の標高 $4.0\mathrm{km}$ の山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $30\mathrm{km}$ である。地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻とマントルの密度はどこでも一様とする。

この地域ではアイソスタシーが成り立っていて、地殻はマントルの上に浮かんでつりあっているとする。すなわち、山脈の地殻の底よりも深いある深さ（補償面）では、どの地点でも、その上にある岩石の単位面積あたりの質量が等しいとする。また、山脈の地殻の上面は山脈の平均の標高の高さで平らであるとみなす。

このとき、山脈の地下の地殻の厚さ（山脈の地表から地殻の底までの厚さ）は何 $\mathrm{km}$ か。

氷期に、ある大陸の上に厚さ $2200\text{m}$ の氷床がのっていて、アイソスタシーが成り立っていた。その後、この氷床がすべてとけて流れ去り、十分に時間がたって再びアイソスタシーが成り立つ状態になった。

氷の密度を $0.90g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とする。氷床がとけた後に地殻は形も厚さも変わらずにそのまま持ち上がり、その分だけ地殻の下にマントルが流れこむものとする。氷床がなくなったことによって、この地域の地殻は何 m 隆起したか。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の外側の層（マントルと地殻をあわせたもの）の 2 つに分けて考える。簡単のため、核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ とし、核と外側の層の密度はそれぞれ一様であるとする。

地球全体の平均密度が $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の密度が $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとき、核の密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。

現在、北緯 $35^{\circ }$ にある陸塊で、ある時代の溶岩の残留磁化を調べたところ、その伏角 $I$ は下向き（北半球の向き）で、$\tan I=2.0$ であった。

地球の磁場は地球の中心に置いた棒磁石（地軸と同じ向き）による磁場とみなし、残留磁化の伏角 $I$ と、溶岩ができたときの緯度（古緯度）$\phi$ の間には $\tan I=2\tan \phi$ の関係が成り立つものとする。また、この陸塊は溶岩ができてから現在まで、経線にそって南北方向にだけ移動したものとし、緯度 $1^{\circ }$ あたりの経線の長さを $110\text{km}$ とする。

この陸塊は、溶岩ができてから現在までに、南北方向に何 km 移動したか。

北半球の同じ経線上にある 2 地点 A, B で、同じ夜に北極星の高度を測ったところ、地点 A では $35.0^{\circ }$、地点 B では $39.5^{\circ }$ であった。また、地点 A と地点 B の間の経線にそった距離は $500\text{km}$ であった。

地球を完全な球とみなし、北極星の高度はその地点の緯度に等しいものとする。このとき、地球の全周の長さは何 km か。