地球の形と内部構造の問題

ある地域では、標高 $0\text{km}$ の平野の下の地殻の厚さが $30\text{km}$ である。この地域に標高 $4\text{km}$ の山脈があり、山脈の下では地殻の底が、平野の下の地殻の底よりも $d\text{km}$ だけ深いところまでのびている（山の根）。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、どちらも一様であるとする。山脈の根の底の深さを補償面とし、アイソスタシーが成り立っている（補償面より上の、単位面積あたりの質量が平野の下と山脈の下で等しい）とするとき、$d$ はいくらか。

現在、北緯 $35^{\circ }$ にある陸塊で、ある時代の溶岩の残留磁化を調べたところ、その伏角 $I$ は下向き（北半球の向き）で、$\tan I=2.0$ であった。

地球の磁場は地球の中心に置いた棒磁石（地軸と同じ向き）による磁場とみなし、残留磁化の伏角 $I$ と、溶岩ができたときの緯度（古緯度）$\phi$ の間には $\tan I=2\tan \phi$ の関係が成り立つものとする。また、この陸塊は溶岩ができてから現在まで、経線にそって南北方向にだけ移動したものとし、緯度 $1^{\circ }$ あたりの経線の長さを $110\text{km}$ とする。

この陸塊は、溶岩ができてから現在までに、南北方向に何 km 移動したか。

ある大陸に、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、それに隣接する山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $32\mathrm{km}$ である。かつて、この山脈の平均の標高は $4.4\mathrm{km}$ であった。その後、長い時間をかけて山脈の表面が一様に侵食され、取り除かれた岩石の厚さは合計で $11\mathrm{km}$ になった。侵食が進む間、山脈はつねにアイソスタシーが成り立つように隆起し続けたものとする。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻は平野でも山脈でも同じ密度の 1 層からなるとする。また、アイソスタシーは、密度の小さい地殻がマントルに浮かび、山の下には地殻の「根」が張り出しているというモデル（エアリーのモデル）で成り立つとする。

現在の山脈の平均の標高は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の外側の層（マントルと地殻をあわせたもの）の 2 つに分けて考える。簡単のため、核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ とし、核と外側の層の密度はそれぞれ一様であるとする。

地球全体の平均密度が $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の密度が $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとき、核の密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。

ある海洋プレートの上に、ホットスポットでできた火山島が一直線に並んでいる。いま活動している火山島 A の真下にホットスポットがあり、ほかの島はそこから同じ向きに並んでいる。各島の、島 A からの距離と、島をつくる溶岩の年代は次の表のとおりであった。

ホットスポットの位置はマントルに対して動かず、プレートはこの間ずっと一定の速さで動いてきたものとする。マントルに対するこのプレートの移動の速さは何 cm/年か。