アイソスタシー

補償面より上の単位面積あたりの質量が等しいという条件（例: $ρ_{c} h_{1} = ρ_{c} h_{2} + ρ_{m} d$ ）から、山の高さと地殻の厚さ（根の深さ）の関係を求められる

前提

リソスフェア・アセノスフェアとアイソスタシー（高校地学地球の形と内部構造（知識））

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リソスフェア・アセノスフェアとアイソスタシー（高校地学地球の形と内部構造（知識））

説明

アイソスタシーが成り立っているとき、ある深さ（補償面）より上にある物質の、単位面積あたりの質量はどの場所でも等しくなります。この条件を式に書くと、山の高さから「山の根」の深さや山の下の地殻の厚さを計算したり、逆に地殻の厚さから山の高さを求めたりできます。氷床がとけたあとの隆起量の見積もりなど、地殻が上下する量を考えるときにも同じ考え方を使います。

なぜそうしてよいのか

地殻はマントルより密度が小さく、やわらかいマントルの上に浮いているような状態にあります。水に浮かぶ木片が、上に大きくはみ出すものほど水の中にも深く沈んでいるのと同じで、高い山の下では地殻が下に厚く張り出しています（山の根）。

十分深いところに水平な面（補償面）を考えます。この面の上で物質がつり合って静止しているなら、補償面の上の物質の重さによる圧力は、どこでも同じでなければなりません（圧力が場所によって違えば、やわらかいマントルが圧力の大きいほうから小さいほうへ流れてしまうからです）。圧力は単位面積あたりにかかる重さなので、これは「補償面より上にある、底面積 $1$ の柱の中の質量がどこでも等しい」という条件になります。底面積 $1$ 、高さ $h$ 、密度 $ρ$ の柱の質量は、密度の定義から $ρ \times (1 \times h) = ρ h$ です。

山の地点と平地の地点で、補償面を山の根の底にとって柱を比べます。地殻の密度を $ρ_{c}$ 、マントルの密度を $ρ_{m}$ 、山の高さ（平地からの高さ）を $h$ 、平地の地殻の厚さを $T$ 、根の深さ（平地の地殻の底からさらに下に張り出す長さ）を $r$ とします。山の柱はすべて地殻で厚さ $h + T + r$ 、平地の柱は地殻 $T$ とその下のマントル $r$ でできているので
$ρ_{c} (h + T + r) = ρ_{c} T + ρ_{m} r$
が成り立ちます。両辺から $ρ_{c} T + ρ_{c} r$ を引くと $ρ_{c} h = (ρ_{m} - ρ_{c}) r$ 、つまり
$r = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m} - ρ _{c}} h$
となります。 $ρ_{m} - ρ_{c}$ は $ρ_{c}$ よりずっと小さいので、根は山の高さの何倍も深くなります。

手順

比べる 2 地点（山と平地など）を決め、補償面をいちばん深い地殻の底（山の根の底）の高さにとる
補償面より上の柱を、地点ごとに「どの物質が何 km あるか」に分けて書き出す（例: 山は地殻 $h + T + r$ 、平地は地殻 $T$ ＋マントル $r$ ）
各物質について「密度 × 厚さ」を足し合わせ、2 地点の値が等しいという式を立てる: $ρ_{c} (h + T + r) = ρ_{c} T + ρ_{m} r$
両辺に共通する項を消して、求める量について解く: $r = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m} - ρ _{c}} h$
問われている量（根の深さ、山の下の地殻の厚さ $h + T + r$ など）を計算する

例題

平地の地殻の厚さは $30 km$ で、平地からの高さが $4.0 km$ の山脈がある。地殻の密度を $2.7 g/c m^{3}$ 、マントルの密度を $3.3 g/c m^{3}$ とし、アイソスタシーが成り立っているとする。山頂から地殻の底までの地殻の厚さは何 $km$ か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1（補償面を決める）
山の根の深さを $r km$ とし、補償面を山の根の底の深さにとる。

手順 2（柱を書き出す）
山の柱: 地殻が $4.0 + 30 + r (km)$
平地の柱: 地殻が $30 km$ 、その下にマントルが $r km$

手順 3（密度 × 厚さが等しい式を立てる）
$2.7 \times (4.0 + 30 + r) = 2.7 \times 30 + 3.3 \times r$

手順 4（解く）
両辺から $2.7 \times 30$ と $2.7 r$ を引くと
$2.7 \times 4.0 = (3.3 - 2.7) r ⟹ 10.8 = 0.6 r ⟹ r = 18$

手順 5（問われている量を求める）
山頂から地殻の底までの厚さは $4.0 + 30 + 18 = 52 km$ 。

答え: $52$

よくある誤り

平地の柱の、地殻の下にあるマントルの部分を書き忘れ、 $ρ_{c} (h + T + r) = ρ_{c} T$ としてしまう誤り。補償面までの深さをそろえて比べるので、平地の柱には根と同じ厚さ $r$ のマントルを入れ、正しくは $ρ_{c} (h + T + r) = ρ_{c} T + ρ_{m} r$ 。
根の深さを $r = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m}} h$ としてしまう誤り。根の部分では地殻がマントルを押しのけているので、効くのは密度の差で、正しくは $r = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m} - ρ _{c}} h$ （例題では $\frac{2.7}{3.3} \times 4.0 \approx 3.3$ ではなく $18 km$ ）。
根の深さ $r$ を求めたところで止めて、それを「山の下の地殻の厚さ」と答えてしまう誤り。山頂から地殻の底までの厚さは、山の高さ・平地の地殻・根を足した $h + T + r$ （例題では $18$ ではなく $52 km$ ）。
山の高さを平地からではなく地殻の底から測ったもの $h + T$ と混同して式に入れてしまう誤り。 $ρ_{c} h = (ρ_{m} - ρ_{c}) r$ の $h$ は、比べる平地の地表からの高さである。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地域では、標高 $0 km$ の平野の下の地殻の厚さが $30 km$ である。この地域に標高 $4 km$ の山脈があり、山脈の下では地殻の底が、平野の下の地殻の底よりも $d km$ だけ深いところまでのびている（山の根）。
地殻の密度を $2.7 g/c m^{3}$ 、マントルの密度を $3.3 g/c m^{3}$ とし、どちらも一様であるとする。山脈の根の底の深さを補償面とし、アイソスタシーが成り立っている（補償面より上の、単位面積あたりの質量が平野の下と山脈の下で等しい）とするとき、 $d$ はいくらか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

侵食・荷重の変化とアイソスタシーによる隆起・沈降（高校地学地球の形と内部構造）