地球の形と内部構造の問題

北半球の同じ経線上にある 2 地点 A, B で、同じ夜に北極星の高度を測ったところ、地点 A では $35.0^{\circ }$、地点 B では $39.5^{\circ }$ であった。また、地点 A と地点 B の間の経線にそった距離は $500\text{km}$ であった。

地球を完全な球とみなし、北極星の高度はその地点の緯度に等しいものとする。このとき、地球の全周の長さは何 km か。

ある海嶺の軸から、海嶺と直角の方向に $120\text{km}$ はなれた地点で海洋底の岩石を採取し、その年代を調べたところ $400$ 万年前にできたものであった。

この岩石は海嶺の軸でできたのち、一定の速さで海嶺から遠ざかる向きに移動してきたものとする。このプレートの移動の速さは何 cm/年か。

ある地域では、標高 $0\text{km}$ の平野の下の地殻の厚さが $30\text{km}$ である。この地域に標高 $4\text{km}$ の山脈があり、山脈の下では地殻の底が、平野の下の地殻の底よりも $d\text{km}$ だけ深いところまでのびている（山の根）。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、どちらも一様であるとする。山脈の根の底の深さを補償面とし、アイソスタシーが成り立っている（補償面より上の、単位面積あたりの質量が平野の下と山脈の下で等しい）とするとき、$d$ はいくらか。

ある陸塊から、年代の異なる 2 つの火山岩の試料 A、B を採取し、それぞれの残留磁化を測定した。残留磁化のベクトルを、試料を採取した地点での北向き成分 $X$、東向き成分 $Y$、鉛直下向き成分 $Z$ に分けた結果が次の表である（単位は $10^{-3}A/m$）。

次のことを仮定する。
- 岩石が形成されたときの地磁気は、地球の中心に置いた、自転軸と同じ向きの棒磁石（双極子）がつくる磁場であり、A、B が形成されたときはどちらも現在と同じ向き（正磁極期）であった。
- このとき、伏角 $I$（水平面から下向きに測った角）と、その地点の緯度 $\phi$ との間には $\tan I=2\tan \phi$ の関係がある。
- 残留磁化の向きは、岩石が形成されたときの地磁気の向きを記録しており、その後変化していない。陸塊は形成後に鉛直な軸のまわりに回転した可能性があるが、この回転は伏角を変えない。
- 地球は半径 $6.4\times 10^3\mathrm{km}$ の球とし、円周率は $3.14$ とする。

角度と正接の値は次の表のとおりである。A、B が形成された地点の緯度（古緯度）は、それぞれ表の角度のうち正接の値が最も近いものとしてよい。

$6.0\times 10^7$ 年前から $2.0\times 10^7$ 年前までの間に、この陸塊は一定の速さで経線に沿って南北方向に移動したものとする。この間の移動の速さは何 $\mathrm{cm}$/年か。有効数字 2 桁で求めよ。

北半球のある地点で地磁気を測定したところ、全磁力は $F=48000\text{nT}$、伏角は $I=60^{\circ }$ であった。この地点での地磁気の水平分力 $H$ は何 nT か。