緯度差と弧の長さによる地球の大きさの測定

同じ経線上の 2 地点の緯度差（北極星の高度や太陽の南中高度の差）と距離から、 $\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{L}{2 π R}$ を使って地球の半径や全周を求められる

前提

太陽の南中高度と緯度・季節（中学理科地球と宇宙）

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太陽の日周運動と季節の変化（中学理科地学分野の用語と知識）
太陽の南中高度と緯度・季節（中学理科地球と宇宙）

説明

地球全体を測らなくても、同じ経線上（真南北に並ぶ位置）にある 2 地点の緯度の差と、2 地点の間の距離がわかれば、地球の全周や半径を求めることができます。緯度の差は、2 地点で同じ時に北極星の高度を測ったり、同じ日に太陽の南中高度を測ったりして、その差から求めます。古代ギリシャのエラトステネスが地球の大きさを見積もった方法もこの考え方で、地球の大きさを観測データから求める問題で使います。

なぜそうしてよいのか

地球を半径 $R$ の球とみなします。同じ経線上の 2 地点 A、B を地球の中心 O と結ぶと、 $∠ AOB$ （中心角）が 2 地点の緯度の差 $θ$ になります。緯度は、その地点と中心を結ぶ線が赤道面となす角だからです。円では、弧の長さは中心角に比例するので、A、B 間の弧の長さを $L$ とすると、全周 $2 π R$ に対する $L$ の割合は、 $36 0^{\circ}$ に対する $θ$ の割合に等しくなります。
$\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{L}{2 π R}$
したがって、全周は $2 π R = L \times \frac{36 0 ^{\circ}}{θ}$ 、半径は $R = \frac{L}{2 π} \times \frac{36 0 ^{\circ}}{θ}$ で求められます。

では、中心角 $θ$ はどうやって測るのでしょうか。北極星や太陽はとても遠くにあるので、その光は地球上のどこにも平行に届くとみなせます。平行な光を、球面上の向きの違う 2 地点で見上げると、見える高度の違いは、2 地点の真上の方向（鉛直方向）のずれ、つまり中心角そのものになります。北極星はほぼ地軸の延長方向にあるので、北極星の高度はその地点の緯度にほぼ等しく、2 地点の北極星の高度の差がそのまま緯度差 $θ$ になります。太陽の場合も、前の技能の式（例えば春分・秋分の日の南中高度は $9 0^{\circ} - 緯度$ ）から、同じ日に 2 地点の南中高度を測れば、その差が緯度差に等しいことがわかります（どちらの地点でも太陽が南の空で南中する場合）。

この方法が成り立つには、2 地点が同じ経線上にあることが必要です。東西にずれていると、2 地点の間の距離は南北方向の弧の長さではなくなり、緯度差と対応しなくなります。

手順

2 地点が同じ経線上（真南北）にあることを確かめる
2 地点の緯度差 $θ$ を求める：北極星の高度の差、または同じ日の太陽の南中高度の差（ $θ = ∣ h_{A} - h_{B} ∣$ ）
2 地点間の距離 $L$ を確かめ、比例式 $\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{L}{2 π R}$ を立てる
全周を求めるなら $2 π R = L \times \frac{36 0 ^{\circ}}{θ}$ 、半径を求めるなら $R = \frac{L}{2 π} \times \frac{36 0 ^{\circ}}{θ}$ を計算する
問題文で指定された単位・丸め方に合わせて答える

例題

同じ経線上にある 2 地点 A、B で、同じ夜に北極星の高度を測ったところ、地点 A では $35. 0^{\circ}$ 、地点 B では $38. 6^{\circ}$ であった。地点 A と地点 B の間の距離は $400 km$ である。地球を球とみなし、北極星の高度はその地点の緯度に等しいものとして、地球の全周の長さは何 km か求めよ。

例題の解答

手順 1：A、B は同じ経線上にあるので、この方法が使える。

手順 2：北極星の高度は緯度に等しいので、緯度差は
$θ = 38. 6^{\circ} - 35. 0^{\circ} = 3. 6^{\circ}$

手順 3： $L = 400 km$ として比例式を立てる。
$\frac{3. 6 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{400}{2 π R}$

手順 4：全周を求める。
$2 π R = 400 \times \frac{36 0 ^{\circ}}{3. 6 ^{\circ}} = 400 \times 100 = 40000$

手順 5：単位は km なので、全周は $40000 km$ である。

答え: $40000$

よくある誤り

比例式の分子と分母を取り違えて $\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{2 π R}{L}$ としてしまう誤り。正しくは、中心角の割合と弧の長さの割合が等しいので $\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{L}{2 π R}$ であり、例題では $2 π R = 400 \times \frac{360}{3.6} = 40000$ となる。
北極星の高度（または南中高度）そのものを中心角として使ってしまう誤り。例えば $θ = 38. 6^{\circ}$ として計算するのは誤り。正しくは、2 地点の高度の差 $θ = 38. 6^{\circ} - 35. 0^{\circ} = 3. 6^{\circ}$ が中心角である。
全周を求めたのに半径と取り違える、または半径を求めるときに $2 π$ で割り忘れる誤り。全周は $2 π R = L \times \frac{36 0 ^{\circ}}{θ}$ 、半径はそれを $2 π$ で割った $R = \frac{L}{2 π} \times \frac{36 0 ^{\circ}}{θ}$ である。
東西にずれた 2 地点や、違う日に測った太陽の南中高度の差をそのまま緯度差としてしまう誤り。正しくは、2 地点は同じ経線上にあり、太陽を使うなら同じ日の南中高度の差をとる（季節で南中高度が変わるため）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
北半球の同じ経線上にある 2 地点 A, B で、同じ夜に北極星の高度を測ったところ、地点 A では $35. 0^{\circ}$ 、地点 B では $39. 5^{\circ}$ であった。また、地点 A と地点 B の間の経線にそった距離は $500 km$ であった。
地球を完全な球とみなし、北極星の高度はその地点の緯度に等しいものとする。このとき、地球の全周の長さは何 km か。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

古地磁気と大陸の移動（高校地学地球の形と内部構造）