古地磁気と大陸の移動

岩石の残留磁化の伏角から $tan I = 2 tan φ$ で古緯度を求め、古緯度の差と年代の差から陸塊の南北方向の移動距離・移動速度を求められる

前提

地磁気の三要素（高校地学地球の形と内部構造）
緯度差と弧の長さによる地球の大きさの測定（高校地学地球の形と内部構造）
海洋底の年代とプレートの移動速度（高校地学地球の形と内部構造）

この技能までの道筋（49 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
地磁気とその要素（高校地学地球の形と内部構造（知識））
地磁気の三要素（高校地学地球の形と内部構造）
太陽の日周運動と季節の変化（中学理科地学分野の用語と知識）
太陽の南中高度と緯度・季節（中学理科地球と宇宙）
緯度差と弧の長さによる地球の大きさの測定（高校地学地球の形と内部構造）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
地震のゆれとプレート（中学理科地学分野の用語と知識）
火山とマグマ・火成岩（中学理科地学分野の用語と知識）
地球の内部の層構造（高校地学地球の形と内部構造（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
メスシリンダーによる体積の測定（中学理科身のまわりの物質）
密度の計算（中学理科身のまわりの物質）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
水圧（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
圧力・水圧・大気圧・浮力の性質（中学理科物理分野の用語と知識）
圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
浮力とアルキメデスの原理（高校物理力と運動（知識））
リソスフェア・アセノスフェアとアイソスタシー（高校地学地球の形と内部構造（知識））
プレートの境界の種類（高校地学地球の形と内部構造（知識））
古地磁気と海洋底拡大説（高校地学地球の形と内部構造（知識））
海洋底の年代とプレートの移動速度（高校地学地球の形と内部構造）

説明

岩石は、できたときの地磁気の向きを残留磁化として記録しています。地磁気の伏角は緯度によって決まっているので、岩石の残留磁化の伏角 $I$ から、 $tan I = 2 tan φ$ を使ってその岩石ができたときの緯度（古緯度） $φ$ を求められます。古緯度と現在の緯度の差から陸塊が南北にどれだけ動いたかを距離に直し、年代で割れば移動速度もわかります。大陸移動を数値で確かめるときに使う技能です。

なぜそうしてよいのか

地磁気は、地球の中心に自転軸の向きに置いた棒磁石の磁場でよく近似できます。長い年月で平均すると、地磁気の極は自転軸の極（地理上の極）にほぼ一致するので、ここでは磁気的な緯度を地理上の緯度 $φ$ と同じとみなします。

このような棒磁石の磁場では、緯度 $φ$ の地表の点で、水平分力 $H$ は $cos φ$ に比例し、鉛直分力 $Z$ は $sin φ$ の $2$ 倍に比例することが知られています。つまり、ある正の定数 $B$ を使って $H = B cos φ$ 、 $Z = 2 B sin φ$ と書けます。伏角は $tan I = \frac{Z}{H}$ で決まるので
$tan I = \frac{2 B sin φ}{B cos φ} = 2 tan φ$
となります。赤道（ $φ = 0^{\circ}$ ）では $I = 0^{\circ}$ 、北極に近づくほど $I$ は $9 0^{\circ}$ に近づき、伏角の観測でわかっている性質と合っています。 $tan I$ と $tan φ$ は比例するので、伏角 $I$ がわかれば $tan φ = \frac{tan I}{2}$ から緯度 $φ$ が決まります。

岩石の残留磁化の伏角は、岩石ができたときの場所の伏角です。したがって、この式で求めた $φ$ は、その岩石ができたときに陸塊があった緯度（古緯度）です。古緯度と現在の緯度の差が $θ$ なら、同じ経線に沿って南北に動いたとみなして、移動距離 $L$ は $\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{L}{2 π R}$ から求められます。この距離を年代で割ると、平均の移動速度になります。

手順

岩石の残留磁化の伏角 $I$ から、 $tan φ = \frac{tan I}{2}$ を計算する
与えられた三角比の値から、古緯度 $φ$ を求める
古緯度と現在の緯度の差 $θ$ を求め、南北どちらに動いたかを決める（同じ北半球なら、古緯度のほうが小さいとき北へ動いた）
移動距離を $L = 2 π R \times \frac{θ}{36 0 ^{\circ}}$ （または全周 $\times \frac{θ}{36 0 ^{\circ}}$ ）で求める
移動速度を $\frac{L}{年代}$ で求め、単位を直して指定された桁数に丸める（ $1 km = 1 0^{5} cm$ ）

例題

現在、北緯 $3 5^{\circ}$ にある陸塊で、 $5.0 \times 1 0^{7}$ 年前にできた岩石の残留磁化を調べたところ、伏角の正接は $tan I = 0.73$ （下向き）であった。当時もこの陸塊は北半球にあり、地磁気は地球の中心に自転軸の向きに置いた棒磁石の磁場で表され、伏角 $I$ と緯度 $φ$ の間に $tan I = 2 tan φ$ が成り立つとする。必要なら次の値を使え。

角度	$1 5^{\circ}$	$2 0^{\circ}$	$2 5^{\circ}$
$tan$	$0.27$	$0.36$	$0.47$

地球の全周を $4.0 \times 1 0^{4} km$ とし、陸塊は同じ経線に沿って一定の速さで北へ移動したとする。陸塊の移動速度は何 cm/年か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1（ $tan φ$ を求める）
$tan φ = \frac{tan I}{2} = \frac{0.73}{2} \approx 0.36$

手順 2（古緯度を求める）
表より $tan 2 0^{\circ} = 0.36$ なので、古緯度は北緯 $2 0^{\circ}$ 。

手順 3（緯度差）
$θ = 3 5^{\circ} - 2 0^{\circ} = 1 5^{\circ}$ 。古緯度のほうが小さいので、陸塊は北へ $1 5^{\circ}$ 動いた。

手順 4（移動距離）
$L = 4.0 \times 1 0^{4} km \times \frac{1 5 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \approx 1.67 \times 1 0^{3} km = 1.67 \times 1 0^{8} cm$

手順 5（移動速度）
距離を cm、時間を年で表した数値どうしを割って
$v = \frac{1.67 \times 1 0 ^{8}}{5.0 \times 1 0 ^{7}} \approx 3.3$
より、有効数字 2 桁で $3.3$ cm/年。

答え: $3.3$

よくある誤り

伏角をそのまま緯度とみなして $φ = I$ としてしまう誤り。伏角は緯度より大きくなり、正しくは $tan I = 2 tan φ$ から $tan φ = \frac{tan I}{2}$ で緯度を求める。
$tan$ ではなく角度を 2 で割って $φ = \frac{I}{2}$ としてしまう誤り。比例するのは角度ではなく正接なので、正しくは $tan φ = \frac{tan I}{2}$ （例題では $I \approx 3 6^{\circ}$ だが $φ = 1 8^{\circ}$ ではなく $2 0^{\circ}$ ）。
$tan φ = 2 tan I$ と式を逆にしてしまう誤り。極に近いほど伏角は大きく、伏角は緯度より大きいので、正しくは $tan I = 2 tan φ$ （ $I$ の側に $2$ がかからない）。
緯度差 $1 5^{\circ}$ を移動距離に直すのに、半径 $R$ と全周を取り違えて $L = R \times \frac{1 5 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}}$ としてしまう誤り。弧の長さは全周に比例するので、正しくは $L = 2 π R \times \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} = (全周) \times \frac{θ}{36 0 ^{\circ}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
現在、北緯 $3 5^{\circ}$ にある陸塊で、ある時代の溶岩の残留磁化を調べたところ、その伏角 $I$ は下向き（北半球の向き）で、 $tan I = 2.0$ であった。
地球の磁場は地球の中心に置いた棒磁石（地軸と同じ向き）による磁場とみなし、残留磁化の伏角 $I$ と、溶岩ができたときの緯度（古緯度） $φ$ の間には $tan I = 2 tan φ$ の関係が成り立つものとする。また、この陸塊は溶岩ができてから現在まで、経線にそって南北方向にだけ移動したものとし、緯度 $1^{\circ}$ あたりの経線の長さを $110 km$ とする。
この陸塊は、溶岩ができてから現在までに、南北方向に何 km 移動したか。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある陸塊から、年代の異なる 2 つの火山岩の試料 A、B を採取し、それぞれの残留磁化を測定した。残留磁化のベクトルを、試料を採取した地点での北向き成分 $X$ 、東向き成分 $Y$ 、鉛直下向き成分 $Z$ に分けた結果が次の表である（単位は $1 0^{- 3} A/m$ ）。
試料形成年代 $X$ $Y$ $Z$
A $6.0 \times 1 0^{7}$ 年前 $12$ $16$ $7.0$
B $2.0 \times 1 0^{7}$ 年前 $24$ $- 7.0$ $29$
次のことを仮定する。
- 岩石が形成されたときの地磁気は、地球の中心に置いた、自転軸と同じ向きの棒磁石（双極子）がつくる磁場であり、A、B が形成されたときはどちらも現在と同じ向き（正磁極期）であった。
- このとき、伏角 $I$ （水平面から下向きに測った角）と、その地点の緯度 $φ$ との間には $tan I = 2 tan φ$ の関係がある。
- 残留磁化の向きは、岩石が形成されたときの地磁気の向きを記録しており、その後変化していない。陸塊は形成後に鉛直な軸のまわりに回転した可能性があるが、この回転は伏角を変えない。
- 地球は半径 $6.4 \times 1 0^{3} km$ の球とし、円周率は $3.14$ とする。
角度と正接の値は次の表のとおりである。A、B が形成された地点の緯度（古緯度）は、それぞれ表の角度のうち正接の値が最も近いものとしてよい。
角度 $5^{\circ}$ $1 0^{\circ}$ $1 5^{\circ}$ $2 0^{\circ}$ $2 5^{\circ}$ $3 0^{\circ}$ $3 5^{\circ}$
$tan$ $0.087$ $0.176$ $0.268$ $0.364$ $0.466$ $0.577$ $0.700$
$6.0 \times 1 0^{7}$ 年前から $2.0 \times 1 0^{7}$ 年前までの間に、この陸塊は一定の速さで経線に沿って南北方向に移動したものとする。この間の移動の速さは何 $cm$ /年か。有効数字 2 桁で求めよ。

試料	形成年代	$X$	$Y$	$Z$
A	$6.0 \times 1 0^{7}$ 年前	$12$	$16$	$7.0$
B	$2.0 \times 1 0^{7}$ 年前	$24$	$- 7.0$	$29$