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地球の形と内部構造の問題

難易度 3共通テストレベル高校地学地球の形と内部構造

ある陸塊から、年代の異なる 2 つの火山岩の試料 A、B を採取し、それぞれの残留磁化を測定した。残留磁化のベクトルを、試料を採取した地点での北向き成分 $X$ 、東向き成分 $Y$ 、鉛直下向き成分 $Z$ に分けた結果が次の表である（単位は $1 0^{- 3} A/m$ ）。

試料	形成年代	$X$	$Y$	$Z$
A	$6.0 \times 1 0^{7}$ 年前	$12$	$16$	$7.0$
B	$2.0 \times 1 0^{7}$ 年前	$24$	$- 7.0$	$29$

次のことを仮定する。
- 岩石が形成されたときの地磁気は、地球の中心に置いた、自転軸と同じ向きの棒磁石（双極子）がつくる磁場であり、A、B が形成されたときはどちらも現在と同じ向き（正磁極期）であった。
- このとき、伏角 $I$ （水平面から下向きに測った角）と、その地点の緯度 $φ$ との間には $tan I = 2 tan φ$ の関係がある。
- 残留磁化の向きは、岩石が形成されたときの地磁気の向きを記録しており、その後変化していない。陸塊は形成後に鉛直な軸のまわりに回転した可能性があるが、この回転は伏角を変えない。
- 地球は半径 $6.4 \times 1 0^{3} km$ の球とし、円周率は $3.14$ とする。

角度と正接の値は次の表のとおりである。A、B が形成された地点の緯度（古緯度）は、それぞれ表の角度のうち正接の値が最も近いものとしてよい。

角度	$5^{\circ}$	$1 0^{\circ}$	$1 5^{\circ}$	$2 0^{\circ}$	$2 5^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$3 5^{\circ}$
$tan$	$0.087$	$0.176$	$0.268$	$0.364$	$0.466$	$0.577$	$0.700$

$6.0 \times 1 0^{7}$ 年前から $2.0 \times 1 0^{7}$ 年前までの間に、この陸塊は一定の速さで経線に沿って南北方向に移動したものとする。この間の移動の速さは何 $cm$ /年か。有効数字 2 桁で求めよ。

この問題で使うもの

古地磁気と大陸の移動（説明と入口の問題）
地磁気の三要素（説明と入口の問題）

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ヒント 1

残留磁化の伏角から、 $tan I = 2 tan φ$ を使って形成時の緯度（古緯度）を求め、2 つの古緯度の差から移動距離を出します。

ヒント 2

伏角は水平成分の大きさ $H = X^{2} + Y^{2}$ と鉛直成分 $Z$ から $tan I = \frac{Z}{H}$ で求めます。東向き成分 $Y$ も水平成分に含めることを忘れないようにしましょう。

ヒント 3

$H_{A} = 20$ 、 $H_{B} = 25$ より $tan φ_{A} = 0.175$ 、 $tan φ_{B} = 0.58$ です。表から古緯度を読み取り、緯度差に対応する経線の弧の長さを求めて、時間 $4.0 \times 1 0^{7}$ 年で割ります。

答えと解説

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5.6

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1. 伏角の正接を求める

残留磁化の水平成分の大きさ $H$ は、北向き成分 $X$ と東向き成分 $Y$ を合成して
$H = X^{2} + Y^{2}$
である（ $Y$ が 0 でないのは偏角が 0 でない、つまり陸塊が回転したことを示すが、伏角には影響しない）。伏角 $I$ は $tan I = \frac{Z}{H}$ で求められる。

試料 A： $H_{A} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 400 = 20$ 、 $tan I_{A} = \frac{7.0}{20} = 0.35$

試料 B： $H_{B} = 2 4^{2} + (- 7.0)^{2} = 576 + 49 = 625 = 25$ 、 $tan I_{B} = \frac{29}{25} = 1.16$

2. 古緯度を求める

地磁気が地球中心の双極子磁場であるので $tan I = 2 tan φ$ が成り立ち、 $tan φ = \frac{tan I}{2}$ である。

試料 A： $tan φ_{A} = \frac{0.35}{2} = 0.175$ より、表の $tan 1 0^{\circ} = 0.176$ に最も近いので $φ_{A} = 1 0^{\circ}$ 。

試料 B： $tan φ_{B} = \frac{1.16}{2} = 0.58$ より、表の $tan 3 0^{\circ} = 0.577$ に最も近いので $φ_{B} = 3 0^{\circ}$ 。

$Z > 0$ （伏角が下向き）で正磁極期なので、どちらも北半球の緯度であり、A は北緯 $1 0^{\circ}$ 、B は北緯 $3 0^{\circ}$ で形成された。

3. 移動距離と速さ

この間に陸塊は経線に沿って北へ $3 0^{\circ} - 1 0^{\circ} = 2 0^{\circ}$ 移動した。経線の長さは緯度差に比例するので、移動距離 $L$ は
$L = 2 \times 3.14 \times 6.4 \times 1 0^{3} km \times \frac{20}{360} = \frac{20096}{9} km ≒ 2.23 \times 1 0^{3} km$
$1 km = 1 0^{5} cm$ より $L ≒ 2.23 \times 1 0^{8} cm$ 。

かかった時間は $6.0 \times 1 0^{7} - 2.0 \times 1 0^{7} = 4.0 \times 1 0^{7}$ 年なので、1 年あたりの移動距離（速さ）は
$\frac{2.23 \times 1 0 ^{8}}{4.0 \times 1 0 ^{7}} ≒ 5.58$
より、約 $5.58 cm$ /年である。有効数字 2 桁で $5.6 cm$ /年である。

別解

伏角は $tan I = Z / X^{2} + Y^{2}$ で求める。

試料 A: $1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ なので $tan I = 7.0/20 = 0.35$ 。 $tan φ = 0.35/2 = 0.175$ で、最も近い値は $tan 1 0^{\circ} = 0.176$ 。よって古緯度は北緯 $1 0^{\circ}$ 。

試料 B: $2 4^{2} + (- 7.0)^{2} = 25$ なので $tan I = 29/25 = 1.16$ 。 $tan φ = 0.58$ で、最も近い値は $tan 3 0^{\circ} = 0.577$ 。よって古緯度は北緯 $3 0^{\circ}$ 。

どちらも $Z > 0$ (下向き)なので北半球にあたる。陸塊は $6.0 \times 1 0^{7}$ 年前から $2.0 \times 1 0^{7}$ 年前の間に、緯度が $2 0^{\circ}$ 北へ移動した。

移動距離は $2 π \times 6.4 \times 1 0^{3} \times \frac{20}{360} = 6.4 \times 1 0^{3} \times 3.14/9 \approx 2.233 \times 1 0^{3} km = 2.233 \times 1 0^{8} cm$ 。

移動にかかった時間は $4.0 \times 1 0^{7}$ 年。

速さは $2.233 \times 1 0^{8} /4.0 \times 1 0^{7} \approx 5.58 cm/ 年$ で、有効数字 2 桁では $5.6$ 。

検算: $5.6 cm/ 年 \times 4.0 \times 1 0^{7} 年 = 2.24 \times 1 0^{8} cm$ で、移動距離と合う。

震央距離	P 波の走時
$30 km$	$5.0 s$
$60 km$	$10.0 s$
$90 km$	$15.0 s$
$240 km$	$38.0 s$
$300 km$	$46.0 s$
$360 km$	$54.0 s$

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