地球の形と内部構造の問題

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ であるとする。

地球全体の平均密度は $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ である。このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 1 位まで求めよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の外側の層（マントルと地殻をあわせたもの）の 2 つに分けて考える。簡単のため、核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ とし、核と外側の層の密度はそれぞれ一様であるとする。

地球全体の平均密度が $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の密度が $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとき、核の密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。

地球を半径 $R=6.37\times 10^6\mathrm{m}$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$、万有引力定数は $G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。

地震波の観測から、地球の中心には半径 $r=3.48\times 10^6\mathrm{m}$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9g/c{\mathrm{m}}^3$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $\pi =3.14$ とする。

同じ経線上にある 2 地点 A, B で北極星の高度を測ったところ、2 地点の緯度の差は $4.5^{\circ }$ であった。また、A と B の間の経線に沿った距離は $500\mathrm{km}$ であった。

まず、地球を球とみなして、この測定から地球の半径 $R$ を求める。

次に、地球を回転楕円体とみなし、赤道半径を $a$、極半径を $b$ とする。扁平率 $\frac{a-b}{a}$ は $\frac{1}{300}$ であり、さきに求めた $R$ は $a$ と $b$ の平均 $\frac{a+b}{2}$ に等しいものとする。

このとき、赤道半径と極半径の差 $a-b$ は何 $\mathrm{km}$ か。円周率は $\pi =3.14$ とし、小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球を半径 $R=6.4\times 10^6\text{m}$ の球とみなし、地球の質量を $M=6.0\times 10^{24}\text{kg}$ とする。地球の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。円周率は $\pi =3.14$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。