地球の質量と平均密度

地球の質量と半径から、球の体積 $\frac{4}{3} π R^{3}$ と単位換算を使って平均密度（ $g/c m^{3}$ ）を求められる

前提

密度の計算（中学理科身のまわりの物質）

この技能までの道筋（3 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
メスシリンダーによる体積の測定（中学理科身のまわりの物質）
密度の計算（中学理科身のまわりの物質）

説明

地球全体の質量 $M$ と半径 $R$ がわかれば、地球を球とみなして体積を求め、「密度 = 質量 ÷ 体積」で地球の平均密度を計算できます。こうして求めた平均密度（約 $5.5 g/c m^{3}$ ）を、地表の岩石の密度（約 $2.7$ 〜 $3.3 g/c m^{3}$ ）と比べると、地球の内部には岩石よりずっと重い物質（金属の核）があることが推論できます。地球の内部構造を考える出発点になる計算です。

なぜそうしてよいのか

密度は「単位体積あたりの質量」で、 $密度 = \frac{質量}{体積}$ でした。地球は場所によって密度がちがいますが、地球全体の質量を地球全体の体積で割れば、「もし地球全体が同じ密度の物質でできていたとしたら、その密度はいくらか」という値、つまり平均密度が得られます。

地球はほぼ球の形をしているので、体積は半径 $R$ の球の体積 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ で求められます。したがって平均密度は
$ρ = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} π R ^{3}} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}$
です。

注意が必要なのは単位です。地球の質量は $kg$ 、半径は $m$ や $km$ で与えられることが多いのに対し、岩石の密度は $g/c m^{3}$ で比べるのがふつうです。 $1 kg = 1 0^{3} g$ 、 $1 m = 1 0^{2} cm$ なので $1 m^{3} = (1 0^{2})^{3} c m^{3} = 1 0^{6} c m^{3}$ です。そのため、計算の前に質量を $g$ 、半径を $cm$ に直しておけば、答えがそのまま $g/c m^{3}$ で得られます（ $kg/ m^{3}$ で求めた場合は、 $1 kg/ m^{3} = \frac{1 0 ^{3} g}{1 0 ^{6} c m ^{3}} = 1 0^{- 3} g/c m^{3}$ を使って直します）。

手順

質量を $g$ に、半径を $cm$ に直す（ $1 kg = 1 0^{3} g$ 、 $1 m = 1 0^{2} cm$ 、 $1 km = 1 0^{5} cm$ ）
半径を 3 乗する。指数部分は $(a \times 1 0^{n})^{3} = a^{3} \times 1 0^{3 n}$ と計算する
球の体積 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ を求める（単位は $c m^{3}$ ）
平均密度 $ρ = \frac{M}{V}$ を計算し、指定された桁数に丸める（単位は $g/c m^{3}$ ）

例題

地球の質量を $6.0 \times 1 0^{24} kg$ 、地球の半径を $6.4 \times 1 0^{6} m$ とし、地球を球とみなす。円周率を $3.14$ として、地球の平均密度は何 $g/c m^{3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1（単位をそろえる）
質量: $M = 6.0 \times 1 0^{24} kg = 6.0 \times 1 0^{24} \times 1 0^{3} g = 6.0 \times 1 0^{27} g$
半径: $R = 6.4 \times 1 0^{6} m = 6.4 \times 1 0^{6} \times 1 0^{2} cm = 6.4 \times 1 0^{8} cm$

手順 2（半径を 3 乗する）
$R^{3} = (6.4)^{3} \times 1 0^{24} = 262.144 \times 1 0^{24} \approx 2.62 \times 1 0^{26} c m^{3}$

手順 3（体積を求める）
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 2.62 \times 1 0^{26} \approx 1.10 \times 1 0^{27} c m^{3}$

手順 4（平均密度を求める）
$ρ = \frac{M}{V} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{27}}{1.10 \times 1 0 ^{27}} \approx 5.45 g/c m^{3}$
有効数字 2 桁に丸めて $5.5 g/c m^{3}$ 。（途中で丸めずに $V \approx 1.0975 \times 1 0^{27} c m^{3}$ を使うと $ρ \approx 5.47$ となり、やはり有効数字 2 桁で $5.5$ である。）

（参考: 地表の岩石の密度 $2.7$ 〜 $3.3 g/c m^{3}$ より大きいので、内部にはもっと密度の大きい物質があると考えられる。）

答え: $5.5$

よくある誤り

$kg$ と $m$ のまま計算した値 $\frac{6.0 \times 1 0 ^{24}}{1.10 \times 1 0 ^{21}} \approx 5.5 \times 1 0^{3}$ を、そのまま $g/c m^{3}$ の答えにしてしまう誤り。正しくは $1 kg/ m^{3} = 1 0^{- 3} g/c m^{3}$ なので $5.5 \times 1 0^{3} kg/ m^{3} = 5.5 g/c m^{3}$ 。
体積の単位換算で $1 m^{3} = 1 0^{2} c m^{3}$ としてしまう誤り。長さが $1 0^{2}$ 倍なので体積は $(1 0^{2})^{3} = 1 0^{6}$ 倍で、正しくは $1 m^{3} = 1 0^{6} c m^{3}$ 。
半径の 3 乗で指数部分を 3 乗し忘れ、 $(6.4 \times 1 0^{8})^{3} = 262 \times 1 0^{8}$ としてしまう誤り。正しくは $(6.4 \times 1 0^{8})^{3} = 6. 4^{3} \times 1 0^{24} \approx 2.62 \times 1 0^{26}$ 。
直径 $1.28 \times 1 0^{9} cm$ をそのまま $R$ に代入してしまう誤り。体積は 8 倍になり密度が $\frac{1}{8}$ になる。正しくは半径 $R = 6.4 \times 1 0^{8} cm$ を使って $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球を半径 $R = 6.4 \times 1 0^{6} m$ の球とみなし、地球の質量を $M = 6.0 \times 1 0^{24} kg$ とする。地球の平均密度は何 $g/c m^{3}$ か。円周率は $π = 3.14$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。

この技能の次に学べること

重力加速度から求める地球の質量（高校地学地球の形と内部構造）
層構造と各層の質量・密度（高校地学地球の形と内部構造）
惑星の大きさと平均密度（高校地学太陽系と天体の運動）