惑星の大きさと平均密度

視直径などから求めた惑星の半径と質量から、球の体積 $\frac{4}{3} π R^{3}$ と単位換算を使って惑星の平均密度（ $g/cm^{3}$ ）を求め、地球型惑星か木星型惑星かを判断できる

前提

視直径と天体の実際の大きさ（高校地学太陽系と天体の運動）
地球の質量と平均密度（高校地学地球の形と内部構造）

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算数中学高校大学大学院

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地球の質量と平均密度（高校地学地球の形と内部構造）

説明

惑星の半径と質量がわかれば、惑星を球とみなして体積を求め、平均密度（ $g/cm^{3}$ ）を計算できるようになります。平均密度は、惑星が主に岩石や金属でできているのか、水素やヘリウムなどの軽い物質が多いのかを知る手がかりになります。計算した平均密度から、その惑星が地球型惑星（密度が大きい）か木星型惑星（密度が小さい）かを判断する問題で使います。

なぜそうしてよいのか

密度は「1 cm $^{3}$ あたりの質量」で、 $密度 = \frac{質量}{体積}$ です。惑星の中では場所によって密度が違いますが、惑星全体の質量を全体の体積で割った値を平均密度といいます。惑星はほぼ球なので、半径 $R$ から体積を $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ で求められます。半径は、視直径と距離から $D = d θ$ で直径を求め、その半分として得ることができます。

計算で大事なのは単位をそろえることです。答えを $g/cm^{3}$ で出すなら、質量は g、半径は cm に直してから計算します。 $1 kg = 1 0^{3} g$ 、 $1 km = 1 0^{5} cm$ です。体積は半径の 3 乗に比例するので、km のまま計算して後から直すと $(1 0^{5})^{3} = 1 0^{15}$ 倍の換算が必要になり、間違えやすくなります。先に半径を cm に直しておくのが安全です。

太陽系の惑星の平均密度を比べると、水星・金星・地球・火星はおよそ $4$ 〜 $5.5 g/cm^{3}$ と大きく、岩石や金属でできた地球型惑星です。一方、木星・土星・天王星・海王星はおよそ $0.7$ 〜 $1.7 g/cm^{3}$ と小さく、水素やヘリウム、氷などの軽い物質を多く含む木星型惑星です。岩石の密度がおよそ $3 g/cm^{3}$ 、水の密度が $1 g/cm^{3}$ であることを目安に考えると、平均密度が $2 g/cm^{3}$ より小さければ木星型、 $4 g/cm^{3}$ 程度以上なら地球型と判断できます。

手順

半径を求める: 直径 $D$ が与えられていれば（視直径から $D = d θ$ で求めた場合も）、半径 $R = \frac{D}{2}$ 。
単位を直す: 半径を cm（ $1 km = 1 0^{5} cm$ ）、質量を g（ $1 kg = 1 0^{3} g$ ）にする。
体積を求める: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ 〔cm $^{3}$ 〕（ $π$ の値は問題文の指示に従う）。
平均密度を求める: $ρ = \frac{M}{V}$ 〔g/cm $^{3}$ 〕。
問題文の丸め方に従って答え、必要なら平均密度の大小から地球型惑星（大きい）か木星型惑星（小さい）かを判断する。

例題

ある惑星の半径は $6.0 \times 1 0^{4} km$ 、質量は $5.7 \times 1 0^{26} kg$ である。この惑星を球とみなしたとき、平均密度は何 $g/cm^{3}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、円周率は $3.14$ とする。

例題の解答

手順 1: 半径は $R = 6.0 \times 1 0^{4} km$ と与えられている。

手順 2: $R = 6.0 \times 1 0^{4} \times 1 0^{5} = 6.0 \times 1 0^{9} cm$ 、 $M = 5.7 \times 1 0^{26} \times 1 0^{3} = 5.7 \times 1 0^{29} g$ 。

手順 3: $V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (6.0 \times 1 0^{9})^{3} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 216 \times 1 0^{27} ≒ 9.04 \times 1 0^{29} cm^{3}$ 。

手順 4: $ρ = \frac{5.7 \times 1 0 ^{29}}{9.04 \times 1 0 ^{29}} ≒ 0.630 g/cm^{3}$ 。

手順 5: 有効数字 2 桁で $0.63 g/cm^{3}$ 。水の密度 $1 g/cm^{3}$ よりも小さいので、この惑星は木星型惑星と判断できる。

答え: $0.63$

よくある誤り

直径をそのまま半径として体積を計算してしまう誤り。正しくは $R = \frac{D}{2}$ で、直径を使うと体積は $2^{3} = 8$ 倍になり、密度は $\frac{1}{8}$ になってしまう。
km を cm に直すとき、3 乗した後の換算を $1 0^{5}$ 倍だけにしてしまう誤り。正しくは $1 km^{3} = (1 0^{5} cm)^{3} = 1 0^{15} cm^{3}$ 。先に $R$ を cm に直してから 3 乗すると間違えにくい（ $6.0 \times 1 0^{4} km = 6.0 \times 1 0^{9} cm$ ）。
質量を kg のまま割ってしまう誤り。 $g/cm^{3}$ で答えるなら質量は g に直す（ $1 kg = 1 0^{3} g$ ）。kg のままだと答えが $\frac{1}{1000}$ になる。
体積を $\frac{4}{3} π R^{2}$ や $4 π R^{2}$ （表面積）としてしまう誤り。正しくは球の体積は $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある惑星の半径は $3.4 \times 1 0^{3} km$ 、質量は $6.4 \times 1 0^{23} kg$ である。この惑星を球とみなし、球の体積を $\frac{4}{3} π R^{3}$ （ $R$ は半径）、円周率を $π = 3.14$ とする。
この惑星の平均密度は何 $g/cm^{3}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52 AU$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00 AU$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。
X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4 \times 1 0^{23} kg$ である。
次の値を用いる。
- $1 AU = 1.5 \times 1 0^{8} km$
- $1$ 秒角 $= 4.8 \times 1 0^{- 6} rad$
- 円周率 $π = 3.14$
視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $θ$ （ラジアン）を用いて $D = d θ$ と表せるものとする。
X の平均密度は何 $g/cm^{3}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。