太陽系と天体の運動の問題

黄道の北極の方向にある恒星 S を 1 年間観測した。S は、はるか遠方の恒星を背景として、天球上で 1 年周期の小さな円を描くように見えた。その円の直径を角度で表すと $0.050^{\prime \prime }$ であった。

地球は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円軌道を公転しているものとする。$1$ パーセクは、年周視差（恒星から地球の公転軌道半径を見込む角）が $1^{\prime \prime }$ となる距離であり、$1$ パーセク $=3.26$ 光年とする。年周視差は十分に小さく、恒星までの距離は年周視差に反比例するとしてよい。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

太陽のまわりを半径 $1.0$ 天文単位の円軌道で公転する地球から、探査機を打ち上げた。探査機は、太陽からの距離が最も近い点（近日点）が地球軌道上にあり、太陽からの距離が最も遠い点（遠日点）が惑星 P の軌道上にある楕円軌道に乗り、近日点を出発してから遠日点に到達するまでの半周を飛行して、遠日点で惑星 P に到着した。この飛行にかかった時間は $4.0$ 年であった。

惑星 P は太陽を中心とする円軌道を公転しているものとする。探査機は打ち上げ後、太陽の重力だけを受けて運動するものとし、地球や惑星 P の重力の影響は無視する。地球の公転周期を $1.0$ 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。また、必要ならば $\sqrt{7}=2.65$ を用いてよい。

惑星 P の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

黄道の極の近くにある恒星 S を 1 年間観測し続けたところ、地球の公転によって、S は遠方の恒星を背景として天球上に小さな円を描くように位置を変えた。この円の直径は角度にして $0.10^{\prime \prime }$ であった。

年周視差が $1^{\prime \prime }$ である恒星までの距離を $1$ パーセク（pc）とし、$1\text{pc}=3.26$ 光年とする。地球の公転軌道は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円とみなす。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球から見た月の視直径（月の直径を見込む角）を測定したところ、$9.0\times 10^{-3}\text{rad}$ であった。このときの地球から月までの距離を $3.8\times 10^5\text{km}$ とする。

視直径 $\theta$〔rad〕が十分に小さいとき、距離 $d$ にある天体の直径 $D$ は $D=d\theta$ で求められる。月の直径は何 km か。有効数字 2 桁で答えよ。