太陽系と天体の運動の問題

黄道の北極の方向にある恒星 S を 1 年間観測した。S は、はるか遠方の恒星を背景として、天球上で 1 年周期の小さな円を描くように見えた。その円の直径を角度で表すと $0.050^{\prime \prime }$ であった。

地球は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円軌道を公転しているものとする。$1$ パーセクは、年周視差（恒星から地球の公転軌道半径を見込む角）が $1^{\prime \prime }$ となる距離であり、$1$ パーセク $=3.26$ 光年とする。年周視差は十分に小さく、恒星までの距離は年周視差に反比例するとしてよい。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

太陽のまわりを半径 $1.0$ 天文単位の円軌道で公転する地球から、探査機を打ち上げた。探査機は、太陽からの距離が最も近い点（近日点）が地球軌道上にあり、太陽からの距離が最も遠い点（遠日点）が惑星 P の軌道上にある楕円軌道に乗り、近日点を出発してから遠日点に到達するまでの半周を飛行して、遠日点で惑星 P に到着した。この飛行にかかった時間は $4.0$ 年であった。

惑星 P は太陽を中心とする円軌道を公転しているものとする。探査機は打ち上げ後、太陽の重力だけを受けて運動するものとし、地球や惑星 P の重力の影響は無視する。地球の公転周期を $1.0$ 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。また、必要ならば $\sqrt{7}=2.65$ を用いてよい。

惑星 P の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある惑星 X は、太陽を中心とする半径 $1.52\text{AU}$ の円軌道を公転している。地球は、太陽を中心とする半径 $1.00\text{AU}$ の円軌道を、X と同じ平面上で公転している。

X が衝の位置にあるとき、地球から見た X の視直径は $18$ 秒角であった。X は球形で、質量は $6.4\times 10^{23}\text{kg}$ である。

次の値を用いる。

• $1\text{AU}=1.5\times 10^8\text{km}$
• $1$ 秒角 $=4.8\times 10^{-6}\text{rad}$
• 円周率 $\pi =3.14$

視直径は十分小さいので、X の直径 $D$ は、地球から X までの距離 $d$ と視直径 $\theta$（ラジアン）を用いて $D=d\theta$ と表せるものとする。

X の平均密度は何 ${\text{g/cm}}^3$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある内惑星 Q は、太陽を中心とする半径 $0.64$ 天文単位の円軌道上を一定の速さで公転している。地球は半径 $1$ 天文単位の円軌道上を、Q と同じ向きに一定の速さで公転している。地球の公転周期を $1$ 年とし、$1$ 年 $=365$ 日とする。

ケプラーの第三法則を用いて、Q が内合になってから次に内合になるまでの日数を求めよ。答えは小数第 $1$ 位を四捨五入して整数で答えよ。

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

次の事実を用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
• 距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d}{[}^{\prime \prime }]$ である。
• ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_A$, $M_B$ [太陽質量] とすると、$\frac{a^3}{P^2}=M_A+M_B$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。