太陽系と天体の運動の問題

黄道の北極の方向にある恒星 S を 1 年間観測した。S は、はるか遠方の恒星を背景として、天球上で 1 年周期の小さな円を描くように見えた。その円の直径を角度で表すと $0.050^{\prime \prime }$ であった。

地球は太陽を中心とする半径 $1$ 天文単位の円軌道を公転しているものとする。$1$ パーセクは、年周視差（恒星から地球の公転軌道半径を見込む角）が $1^{\prime \prime }$ となる距離であり、$1$ パーセク $=3.26$ 光年とする。年周視差は十分に小さく、恒星までの距離は年周視差に反比例するとしてよい。

恒星 S までの距離は何光年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある外惑星 P を地球から観測したところ、P が衝になってから次に衝になるまでの期間（会合周期）は $417$ 日であった。地球と P はどちらも太陽を中心とする円軌道上を同じ向きに一定の速さで公転しているものとし、地球の公転周期を $365$ 日、地球の公転軌道の半径を $1$ 天文単位とする。

ケプラーの第三法則を用いて、P の公転軌道の半径は何天文単位か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

恒星 A と恒星 B は、スペクトル型と光度階級が同じで、真の明るさ（絶対等級）が等しいことがわかっている。2 つの恒星の観測結果は次の表のとおりである。

恒星 B の年周視差は何秒角か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、恒星までの距離 $d$〔パーセク〕と年周視差 $p$〔秒角〕の間には $d=\frac{1}{p}$ の関係があり、見かけの等級が $5$ 等小さいと明るさは $100$ 倍になるものとする。また、恒星の見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例し、星間物質による減光は無視できるものとする。必要なら ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

地球から火星へ探査機を送る。地球と火星は、太陽を中心とする同一平面上の円軌道を同じ向きに一定の速さで公転しているものとする。地球の軌道半径を $1.00$ 天文単位、公転周期を $1.00$ 年とし、火星の軌道半径を $1.52$ 天文単位、公転周期を $1.88$ 年とする。

探査機は地球の位置から、地球の公転と同じ向きに打ち上げられる。打ち上げ後は太陽の引力だけを受けて、太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を運動する。この楕円軌道の近日点は打ち上げ時の地球の位置、遠日点は火星の軌道上にあり、探査機は近日点から遠日点まで楕円軌道のちょうど半周を進んで、遠日点で火星に到着する。

このように探査機を火星に到着させるには、打ち上げの瞬間に、太陽から見て火星が地球よりも公転の向きに何度先行していなければならないか。小数第 1 位を四捨五入して整数で求めよ。ただし、太陽のまわりを公転する天体では、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a^3}{T^2}=1$ と書けるものとする。必要なら $1.26^3=2.00$、$\sqrt{2}=1.41$ を用いよ。

太陽のまわりを半径 $1.0$ 天文単位の円軌道で公転する地球から、探査機を打ち上げた。探査機は、太陽からの距離が最も近い点（近日点）が地球軌道上にあり、太陽からの距離が最も遠い点（遠日点）が惑星 P の軌道上にある楕円軌道に乗り、近日点を出発してから遠日点に到達するまでの半周を飛行して、遠日点で惑星 P に到着した。この飛行にかかった時間は $4.0$ 年であった。

惑星 P は太陽を中心とする円軌道を公転しているものとする。探査機は打ち上げ後、太陽の重力だけを受けて運動するものとし、地球や惑星 P の重力の影響は無視する。地球の公転周期を $1.0$ 年とし、ケプラーの第 3 法則が成り立つものとする。また、必要ならば $\sqrt{7}=2.65$ を用いてよい。

惑星 P の公転周期は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。