ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径

軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表したときの $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ を使って、惑星の軌道長半径から公転周期を、公転周期から軌道長半径を求められる（例: $a = 4$ なら $T = 8$ 年）

前提

指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）

説明

太陽のまわりを回る惑星について、軌道の大きさ（軌道長半径）がわかれば公転周期を、公転周期がわかれば軌道長半径を求められるようになります。軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表すと、ケプラーの第 3 法則は $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ 、つまり $a^{3} = T^{2}$ というとても簡単な形になります。惑星や小惑星・彗星の軌道のデータから、もう一方の量を計算する問題で使います。

なぜそうしてよいのか

惑星の軌道は楕円で、その長いほうの直径（長軸）の半分を軌道長半径 $a$ といいます。ほぼ円に近い軌道なら、太陽からのおおよその距離と考えてかまいません。公転周期 $T$ は、惑星が太陽のまわりを 1 周するのにかかる時間です。ケプラーは惑星の観測データを調べ、太陽のまわりを回るどの惑星でも $\frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ が同じ値になることを見つけました。これがケプラーの第 3 法則です。遠い惑星ほど 1 周の道のりが長いうえに動く速さもゆっくりなので、周期は距離の割合以上に長くなります。その「どのくらい長くなるか」を表すのが $a^{3}$ と $T^{2}$ の関係です。

この一定の値は、単位の選び方で変わります。そこで、地球を基準にした単位を使います。地球の軌道長半径を 1 天文単位（記号 au）、地球の公転周期を 1 年とすると、地球では $a = 1$ 、 $T = 1$ なので $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = \frac{1 ^{3}}{1 ^{2}} = 1$ です。この値はどの惑星でも同じなので、太陽のまわりを回る天体ならどれでも $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ 、すなわち $a^{3} = T^{2}$ が成り立ちます。

$a^{3} = T^{2}$ から一方を求めるには、指数の計算を使います。 $a$ と $T$ はどちらも正の数なので、 $T = a^{\frac{3}{2}} = (a)^{3}$ 、 $a = T^{\frac{2}{3}} = (3 T)^{2}$ と書けます。たとえば $a = 4$ なら $T = 4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 2^{3} = 8$ 年です。ただし、この $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ が使えるのは、太陽のまわりを回る天体で、単位が天文単位と年のときだけです。

手順

単位をそろえる: 軌道長半径 $a$ は天文単位、公転周期 $T$ は年で表す（問題文の値がこの単位になっていることを確かめる）。
関係式を書く: $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ 、つまり $a^{3} = T^{2}$ 。
わかっている値を代入する: $a$ がわかっていれば $T^{2} = a^{3}$ 、 $T$ がわかっていれば $a^{3} = T^{2}$ を計算する。
正の値を求める: $T = a^{\frac{3}{2}} = (a)^{3}$ 、または $a = T^{\frac{2}{3}} = (3 T)^{2}$ 。
答えを確かめる: 求めた値を $a^{3} = T^{2}$ に代入して両辺が等しいか確かめ、問題文の丸め方の指示に従って答える。

例題

太陽のまわりを公転している小惑星の公転周期が 27 年であった。この小惑星の軌道長半径は何天文単位か。ただし、軌道長半径を天文単位、公転周期を年で表したとき、太陽のまわりを公転する天体では $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ が成り立つものとする。

例題の解答

手順 1: 公転周期は年で与えられているので $T = 27$ 。求める軌道長半径を $a$ （天文単位）とする。

手順 2: $a^{3} = T^{2}$ 。

手順 3: $T = 27$ を代入して $a^{3} = 2 7^{2} = 729$ 。

手順 4: $a > 0$ なので $a = 3729$ 。 $27 = 3^{3}$ だから $2 7^{2} = 3^{6} = (3^{2})^{3} = 9^{3}$ となり、 $a = 9$ 。（ $a = 2 7^{\frac{2}{3}} = (327)^{2} = 3^{2} = 9$ と計算してもよい。）

手順 5: 確かめると $9^{3} = 729$ 、 $2 7^{2} = 729$ で等しい。

よって軌道長半径は 9 天文単位。

答え: $9$

よくある誤り

$a^{3} = T^{2}$ の指数を逆にして $a^{2} = T^{3}$ としてしまう誤り。正しくは、軌道長半径が 3 乗、公転周期が 2 乗である。たとえば $a = 4$ なら $T^{2} = 4^{3} = 64$ より $T = 8$ 年（ $T^{3} = 16$ として $T = 316$ とするのは誤り）。
$T^{2} = a^{3}$ から $T = a^{3}$ や $T = \frac{a ^{3}}{2}$ のようにしてしまう誤り。正しくは両辺の正の平方根をとって $T = a^{3} = a^{\frac{3}{2}}$ である（ $a = 9$ なら $T = 729 = 27$ 年）。
単位をそろえずに使ってしまう誤り。 $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ が成り立つのは $a$ が天文単位、 $T$ が年のときだけで、たとえば $a$ を km、 $T$ を日で表すとこの値は 1 にならない。月の日数などで与えられたときは、年に直してから使う。
地球のまわりを回る月や人工衛星などにも $\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$ を使ってしまう誤り。正しくは、この値 1 は地球の公転を基準にしたもので、太陽のまわりを回る天体にだけ使える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
太陽のまわりを楕円軌道で公転している小天体がある。この小天体の公転周期は $27$ 年である。
軌道長半径を $a$ ［天文単位］、公転周期を $T$ ［年］で表すと、太陽のまわりを公転する天体についてケプラーの第 3 法則
$\frac{a ^{3}}{T ^{2}} = 1$
が成り立つものとする。この小天体の軌道長半径は何天文単位か。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B からなる。どちらの恒星も、共通重心のまわりを同じ周期の円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直である。

この連星を長期間観測し、固有運動の影響を取り除いて、次の結果を得た。

観測内容	結果
地球の公転によって、連星の共通重心が天球上に描く楕円の長軸の長さ（端から端まで）	$0.5 0^{''}$
恒星 B から見た恒星 A の相対軌道（円）の角半径	$2. 0^{''}$
共通重心から見た恒星 A の軌道（円）の角半径	$0.5 0^{''}$
公転周期	$16$ 年

次の事実を用いてよい。

年周視差が $p [^{''}]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクである。
距離 $d$ パーセクの位置で視線に垂直な長さ $1$ 天文単位を見込む角は $\frac{1}{d} [^{''}]$ である。
ケプラーの第三法則により、相対軌道の半径を $a$ [天文単位]、公転周期を $P$ [年]、2 つの恒星の質量を $M_{A}$ , $M_{B}$ [太陽質量] とすると、 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = M_{A} + M_{B}$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能の次に学べること

楕円軌道の近日点・遠日点距離と公転周期（高校地学太陽系と天体の運動）
会合周期とケプラーの法則の組合せ（高校地学太陽系と天体の運動）