会合周期とケプラーの法則の組合せ

内惑星は $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{E}$ 、外惑星は $\frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P}$ を使い分け、ケプラーの第 3 法則と組み合わせて、軌道半径から会合周期を、会合周期から軌道半径を求められる

前提

会合周期と公転周期（中学理科地球と宇宙）
ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径（高校地学太陽系と天体の運動）

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算数中学高校大学大学院

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惑星の公転と位置関係（中学理科地球と宇宙）
会合周期と公転周期（中学理科地球と宇宙）
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ケプラーの第 3 法則による公転周期と軌道長半径（高校地学太陽系と天体の運動）

説明

会合周期の式とケプラーの第 3 法則をつなげて、惑星の軌道半径から会合周期を、会合周期から軌道半径を求められるようになります。会合周期 $S$ と公転周期 $P$ を結ぶ式（内惑星は $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{E}$ 、外惑星は $\frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P}$ 、 $E$ は地球の公転周期）と、公転周期と軌道半径を結ぶ $a^{3} = P^{2}$ を、公転周期 $P$ を「橋渡し」にして順に使います。観測しやすい会合周期から惑星の太陽からの距離を知る、といった問題で使います。

なぜそうしてよいのか

会合周期 $S$ は、太陽・地球・惑星が同じ順に一直線に並んでから、次に再び同じ並びになるまでの時間です。単位時間あたり（ $E$ 、 $P$ を年で表すなら 1 年あたり）に回る角度は、地球が $\frac{36 0 ^{\circ}}{E}$ 、惑星が $\frac{36 0 ^{\circ}}{P}$ です。内惑星（ $P < E$ ）は地球より速く回るので、時間 $S$ の間に地球よりちょうど 1 周（ $36 0^{\circ}$ ）多く回ったときに再び並びます。 $\frac{36 0 ^{\circ}}{P} S - \frac{36 0 ^{\circ}}{E} S = 36 0^{\circ}$ の両辺を $36 0^{\circ} \times S$ で割って $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{E}$ です。外惑星（ $P > E$ ）は地球より遅いので、地球のほうが 1 周多く回ったときに並び、 $\frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P}$ です。どちらの式も「速いほうの単位時間あたりの周回数 − 遅いほうの周回数」になっていて、 $\frac{1}{S}$ が正になるように引き算の順を決めていると考えると覚えやすくなります。

一方、ケプラーの第 3 法則は、軌道長半径 $a$ （天文単位）と公転周期 $P$ （年）の間に $a^{3} = P^{2}$ が成り立つことを表しています。会合周期の式は $S$ と $P$ を、ケプラーの法則は $P$ と $a$ を結んでいるので、この 2 つを続けて使えば $S$ と $a$ が結べます。

時間の単位は年にそろえるのが便利です。年を単位にすると地球の公転周期は $E = 1$ なので、会合周期の式は内惑星で $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - 1$ 、外惑星で $\frac{1}{S} = 1 - \frac{1}{P}$ となり、ケプラーの法則も $a^{3} = P^{2}$ のままで使えます。

手順

惑星が内惑星（ $a < 1$ 、 $P < 1$ 年）か外惑星（ $a > 1$ 、 $P > 1$ 年）かを確かめ、使う式を決める: 内惑星 $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{E}$ 、外惑星 $\frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P}$ 。
時間の単位を年にそろえ、 $E = 1$ とする（会合周期が日で与えられていれば、問題文で与えられた 1 年の日数を使って年に直す）。
軌道半径から会合周期を求めるとき: $a^{3} = P^{2}$ から $P = a^{\frac{3}{2}}$ を求め、それを会合周期の式に代入して $S$ を求める。
会合周期から軌道半径を求めるとき: 会合周期の式から $P$ を求め、 $a^{3} = P^{2}$ から $a = P^{\frac{2}{3}}$ を求める。
答えが内惑星・外惑星の範囲（ $S > 0$ 、 $a$ と $1$ の大小）と合っているか確かめ、指示どおりの形で答える。

例題

ある外惑星の軌道は太陽を中心とする円で、その軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の軌道も太陽を中心とする円で、地球の公転周期は $1$ 年とする。この惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。ただし、軌道半径を $a$ 〔天文単位〕、公転周期を $P$ 〔年〕としたとき、 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = 1$ が成り立つものとする。

例題の解答

この問題は軌道半径から会合周期を求めるので、手順 3 を使い、手順 4（会合周期から軌道半径を求めるとき）は使わない。

手順 1: 外惑星なので $\frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P}$ を使う。

手順 2: 時間の単位は年で、 $E = 1$ 。

手順 3: $a^{3} = P^{2}$ に $a = 4$ を代入して $P^{2} = 4^{3} = 64$ 。 $P > 0$ より $P = 8$ 年。これを会合周期の式に代入すると
$\frac{1}{S} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
よって $S = \frac{8}{7}$ 年。

手順 5: $S > 0$ で、外惑星の会合周期は 1 年より長くなることとも合っている。

よって会合周期は $\frac{8}{7}$ 年。

答え: $\frac{8}{7}$

よくある誤り

内惑星と外惑星の式を取り違える誤り。外惑星（ $P > 1$ ）に $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - 1$ を使うと、 $P = 8$ なら $\frac{1}{S} = - \frac{7}{8}$ と負になってしまう。正しくは、外惑星は $\frac{1}{S} = 1 - \frac{1}{P}$ 、内惑星は $\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - 1$ （時間は年）である。
会合周期の式に軌道半径 $a$ をそのまま入れてしまう誤り。正しくは、会合周期の式に入るのは公転周期 $P$ なので、まず $a^{3} = P^{2}$ で $P$ に直す（ $a = 4$ なら $P = 8$ 年で、 $\frac{1}{S} = 1 - \frac{1}{4}$ とするのは誤り）。
$\frac{1}{S} = \frac{7}{8}$ を求めたところで止めて、 $S = \frac{7}{8}$ 年と答えてしまう誤り。正しくは逆数をとって $S = \frac{8}{7}$ 年である。
会合周期を日、公転周期を年のように単位がそろわないまま計算してしまう誤り。正しくは、 $S$ ・ $P$ ・ $E$ を同じ単位にそろえる。ケプラーの法則 $a^{3} = P^{2}$ は $a$ が天文単位、 $P$ が年のときに成り立つので、 $P$ を年で表してから使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地球の外側で、太陽を中心とする円軌道を地球と同じ向きに公転している小惑星がある。この小惑星の軌道半径は $4$ 天文単位である。地球の公転周期を $E = 1$ 年とする。
軌道半径を $a$ ［天文単位］、公転周期を $P$ ［年］で表すとケプラーの第 3 法則 $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = 1$ が成り立ち、地球より外側を公転する天体の会合周期 $S$ ［年］は
$\frac{1}{S} = \frac{1}{E} - \frac{1}{P}$
で表される。この小惑星の会合周期は何年か。分数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

惑星の配置の変化と経過時間（高校地学太陽系と天体の運動）